Enunciado

Seja T :   R 2 → R 2 definida por:

T = 1 3 - 1 5

Determinar os vetores u , v e w tais que:

a) T u = u .

b) T v = 2 v

c) T w = ( 4 ,   4 ) .

Passo 1

O problema dá uma matriz de transformação e pede para encontrarmos vetores que satisfazem algumas relações.

No item (a), devemos achar u = ( x , y ) tal que T u = u . Logo,

1 3 - 1 5 ⋅ x y = x y

Assim,

x + 3 y - x + 5 y = x y

Portanto,

x + 3 y = x - x + 5 y = y

Da primeira equação temos que y = 0 . Desta forma, tiramos da segunda que x = 0 . Portanto,

u = ( 0 ,   0 )

Passo 2

Para o item (b), chamando v = ( x , y ) :

1 3 - 1 5 ⋅ x y = 2 x 2 y

Logo,

x + 3 y = 2 x - x + 5 y = 2 y

Da primeira equação temos x = 3 y . Substituindo na segunda:

- 3 y + 5 y = 2 y ⇒ 2 y = 2 y

Portanto, esse sistema é indeterminado, de modo que

x , y = 3 y , y = y ( 3,1 )

Logo,

v = y ( 3,1 )

Isso significa que existem infinitos vetores com essa propriedade (eles são todos paralelos ao vetor ( 3,1 ) ).

Passo 3

Por fim, no item (c), queremos achar w = ( x , y ) tal que T x , y = ( 4 ,   4 ) . Assim, teremos

x + 3 y - x + 5 y = 4 4

Portanto,

x + 3 y = 4 - x + 5 y = 4

Somando as equações:

8 y = 8 ⇒ y = 1 ⇒ x = 1

Portanto,

w = ( 1 ,   1 )

Resposta

u = ( 0 ,   0 )

v = y ( 3,1 )

w = ( 1 ,   1 )

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