Enunciado

Seja T : R 2 → R 2 uma reflexão, através da reta y = 3 x .

  1. Encontre T ( x , y ) .
  2. Encontre a base α de R 2 , tal que T α α = 1 0       0 - 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Considere no plano as retas s : y = - 1 3 x e r : y = 3 x . Observe que s ⊥ r .

Considere também v 1 = 1,3 , vetor direção da reta r , e v 2 = ( - 3,1 ) , veotr direção da reta s .

Observe que v 1 , v 2 é L . I . pois são vetores ortogonais, e portanto α = v 1 , v 2 forma umabase para o R 2 .

T 1,3 = ( 1,3 )

Pois T é uma reflexão e portanto T preserva v ∈ R 2 ,   v |   ( 1,3 ) .

T - 3,1 = - - 3,1

Logo, a representação matricial da Transformação acima em relação à base α = 1,3 , - 3,1 é:

  T α α = 1 0       0 - 1

Vamos então determinar a representação matricial da transformação T definida acima, em relação à base canônica.

T c a n c a n   = I c a n α ⋅ T α α ⋅ I α c a n

T c a n c a n   = 1 3       - 3 1 ⋅ 1 0       0 - 1 ⋅ 1 10 - 3 10       3 10 1 10

T c a n c a n   = - 4 5 3 5       3 5 4 5

Portanto:

T x , y = - 4 5 3 5       3 5 4 5 x y

T x , y = 1 5 ( - 4 x + 3 y , 3 x - 4 y )

Passo 2

Podemos considerar α = 1,3 , - 3,1 .

Resposta

a ) T x , y = 1 5 ( - 4 x + 3 y , 3 x - 4 y )

b ) α = 1,3 , - 3,1

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