Enunciado

Seja V um espaço euclidiano de dimensão finita. Mostrar que duas quaisquer das propriedades a seguir de um operador A ∈ L V implicam a restante:

  1. A é auto-adjunto
  2. A é uma isometria
  3. A 2 = I

Passo 1

Vamos lá a nossa questão!

Vejamos o que a questão está nos dizendo. Temos 3 propriedades. Ao selecionarmos aleatoriamente duas delas, implicaremos automaticamente na outra propriedade. E é isto que a questão nos pede para provar.

Portanto, temos que analisar todas as possibilidades possíveis, as quais são: A é auto-adjunto e isometria; A é uma isometria e A 2 = I ; A é auto-adjunto e A 2 = I .

Sendo assim, veremos caso por caso.

Passo 2

Começaremos pelo caso que o nosso operador A é auto-adjunto e uma isometria.

Será se estas duas propriedades implicam que A 2 = I ? É isto o que vamos verificar (provar na verdade né).

Então, vejamos só as seguintes implicações do nosso operador. Se ele é um operador autoadjunto, sabemos que a sua matriz é simétrica. Consequentemente, temos que A = A t .

Agora, como o operador é uma isometria, a matriz A também é uma matriz ortogonal. Logo, A t = A - 1 .

Estas duas implicações são necessárias para provar que A 2 = I . Para isto, precisamos lembrar da relação entre uma matriz e sua inversa, a qual é:

A A - 1 = I

Mas como A - 1 = A t ,

A A t = I

E como A = A t ,

A A = A 2 = I

E assim provamos a nossa primeira possibilidade.

Passo 3

Agora, vamos para o caso em que operador A é uma isometria e A 2 = I

Então, vejamos só as seguintes implicações do nosso operador. Se o operador é uma isometria, a matriz A é uma matriz ortogonal. Logo, A t = A - 1 .

Já a outra propriedade que temos é que A 2 = A A = I .

Agora, vamos para a nossa pergunta: será se estas duas propriedades implicam que o operador A é auto-adjunto? É isto o que vamos verificar (provar na verdade né).

Para isto, precisamos de uma relação identidade, uma relação que sempre é verdade, independente da matriz que estamos trabalhando. Esta relação é o produto da matriz pela sua inversa, a qual é:

A A - 1 = I

Mas como I = A A , temos:

A A - 1 = A A

Dá logo uma vontade de cortamos A de cada membro e obtermos A = A - 1 , mas isto está matematicamente errado! Não existe divisão de matrizes. Então, vamos fazer o “certo”. Multiplicando ambos os membros por A - 1 , temos:

A - 1 A A - 1 = A - 1 A A

A - 1 A A - 1 = A - 1 A A

I A - 1 = I A

A - 1 = A

O resultado é o mesmo, mas obtido corretamente! Para finalizarmos, vamos lembrar que A t = A - 1 , pois é uma matriz ortogonal. Logo,

A t = A

Então, a matriz A é simétrica, o que implica em ser um operador auto-adjunto!

Passo 4

Agora vamos para o último caso! O operador A é auto-adjunto e A 2 = I

A nossa aproximação para resolver este caso é um pouco diferente. Primeiro, temos que:

det ⁡ A 2 = det ⁡ I

det ⁡ A 2 = 1

det ⁡ A = ± 1

Mas como o operador é auto-adjunto, sabemos por definição que a sua matriz A é simétrica.

Pronto, agora, temos que juntar as duas informações e lembrar que, uma matriz A é ortogonal se o seu determinante for igual a ± 1 e for simétrica, o que é o nosso caso.

Então, como a matriz é ortogonal, temos que o operador A é uma isometria.

Assim, concluímos a questão mostrando que, selecionado duas propriedades, automaticamente temos a terceira.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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