Enunciado

Seja W o espaço gerado por f = sen ⁡ x   e g = cos ⁡ x .

(a) Mostre que dado qualquer valor de θ ,   f 1 = sen ⁡ x   + θ e

g 1 = sen ⁡ x   + θ são vetores em W .

(b) Mostre que f 1 e g 1 formam uma base de W .

Passo 1

(a)

Vamos lá! Precisamos lembrar de duas identidades trigonométricas pra resolver esse problema

sen ⁡ x + θ = sen ⁡ x cos ⁡ θ + sen ⁡ θ cos ⁡ x

cos ⁡ x + θ = cos ⁡ x cos ⁡ θ + sen ⁡ x sen ⁡ θ

Vamos transformar f e g em matriz, assim temos:

a b c d ⋅ sen ⁡ x cos ⁡ x = a sen ⁡ x + b cos ⁡ x ,   c sen ⁡ x + d cos ⁡ x

Se compararmos com os vetores acima, temos que:

a = d = cos ⁡ θ ,   b = c = sen ⁡ θ

Assim como nosso vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores, logo eles pertencem ao nosso espaço W .

Passo 2

(b)

Como f e g são linearmente independentes pois.

a sen ⁡ x + b sen ⁡ x = 0

Somente para a solução trivial, a = 0 e b = 0 .

Agora para provarmos que nosso sistema gera todo o espaço temos que provar que:

a b c d ⋅ sen ⁡ x cos ⁡ x = a , b , c , d

Para isso só escolhermos 1 coeficiente e zerarmos os demais, no caso vamos escolher a.

a 0 0 0 ⋅ sen ⁡ x cos ⁡ x = a

a sen ⁡ x = a ,   x = π 2

Logo f ,   g gera todo o R 2 , logo formam uma base de W .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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