Enunciado

Seja f uma função que associa a cada matiz 3X3, cujas linhas são u, v e w um numero f(u,v,w) de tal modo que valham as propriedades 1,3 e 4 vistas acima para o determinante. Se f( e 1 ,   e 2 ,   e 3   )= k, mostre que f(u, v, w ) = k det[u, v, w] para quaisquer u,v, w ϵ   R 3 .   (Sugestão: escreva u = a 1 e 1 +   b 1 e 2 +   c 1 e 3   ,   v   = a 2 e 1 +   b 2 e 2 +   c 2 e 3     e     w = a 3 e 1 +   b 3 e 2 +   c 3 e 3   )   )

Passo 1

Fala galerinha , vamos resolver mais uma questão do nosso livro de Geometria analítica e Álgebra Linear !!!

Primeiramente vamos entender nosso problema.

É dito na questão que as funções serão,

f( e 1 ,   e 2 ,   e 3   )= k

f(u, v, w ) = k det[u, v, w]

e cada componente dada pela função,

u = a 1 e 1 +   b 1 e 2 +   c 1 e 3  

  v   = a 2 e 1 +   b 2 e 2 +   c 2 e 3  

w = a 3 e 1 +   b 3 e 2 +   c 3 e 3

como é propostos na questão vamos encontrar o valor do determinante da função det[u, v, w]

d e t [ u ,   v ,   w ] = a 1 e 1 b 1 e 2 c 1 e 3 a 2 e 1 b 2 e 2 c 2 e 3 a 3 e 1 b 3 e 2 c 3 e 3

d e t [ u ( e 1 + e 2 + e 3 ) ,   v ( e 1 + e 2 + e 3 ) ,   w ( e 1 + e 2 + e 3 ) ] = a 1 b 2 c 3 e 1 e 2 e 3 +   a 2 b 3 c 1 e 1 e 2 e 3 + a 3 b 1 c 2 e 1 e 2 e 3 - a 3 b 2 c 1 e 1 e 2 e 3 - a 1 b 3 c 2 e 1 e 2 e 3 - a 2 b 1 c 3 e 1 e 2 e 3

Com isso em mente, vamos então ao próximo passo...

Passo 2

Este passo será relembrar as propriedades citadas na questão,

Propriedade 1 o determinante muda de sinal quando realiza uma troca de posição entres as linhas,

  d e t u ,   v ,   w = - d e t [ v ,   u ,   w ]

Propriedade 3, se multiplicamos uma linha da matriz por número, o determinante fica multiplicado por aquele número.

d e t α .   u ,   v ,   w =   d e t   u , α .   v ,   w = d e t   u , v , α .   w = α   d e t u ,   v ,   w

Propriedade 4 se uma matriz é soma de duas parcelas vetoriais seu determinante é soma de dois outros, em cada um dos quais aquela linha é substituída por uma das parcelas.

d e t u ' + u ,   v ,   w = d e t u ,   v ,   w +   d e t u ' ,   v ,   w

disto isso, vamos para o próximo passo.

Passo 3

Agora vamos resolver, a multiplicação da função f( e 1 ,   e 2 ,   e 3   ) com uma matriz identidade

∥ = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

det[f( e 1 ,   e 2 ,   e 3   ) * ] = e 1 e 2 e 3 * 1 0 0 0 1 0 0 0 1

det[f( e 1 ,   e 2 ,   e 3   ) * ∥ ] = e 1 0 0 0 e 2 0 0 0 e 3

det[f( e 1 ,   e 2 ,   e 3   ) * ∥ ] = e 1 e 2 e 3

é proposto que o valor de k é igual e 1 e 2 e 3

Passo 4

Vamos agora calcular o valor do determinante apenas em função d e t u ,   v ,   w   ,   sem os coeficientes e 1 ,   e 2 ,   e 3     e ficando com,

d e t [ u ,   v ,   w ] = a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3

d e t u ,   v ,   w = a 1 b 2 c 3 +   a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 - a 3 b 2 c 1 - a 1 b 3 c 2 - a 2 b 1 c 3

Passo 5

Galera como ultimo passo, vamor realizar a comparação entre os resultados das matriz,

d e t [ u ( e 1 + e 2 + e 3 ) ,   v ( e 1 + e 2 + e 3 ) ,   w ( e 1 + e 2 + e 3 ) ] =   f ( e 1 ,   e 2 ,   e 3   ) d e t [ u ,   v ,   w ]

d e t [ u ( e 1 + e 2 + e 3 ) ,   v ( e 1 + e 2 + e 3 ) ,   w ( e 1 + e 2 + e 3 ) ] =   e 1 e 2 e 3 ( a 1 b 2 c 3 +   a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 - a 3 b 2 c 1 - a 1 b 3 c 2 - a 2 b 1 c 3 )

d e t [ u ( e 1 + e 2 + e 3 ) ,   v ( e 1 + e 2 + e 3 ) ,   w ( e 1 + e 2 + e 3 ) ] = k ( a 1 b 2 c 3 +   a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 - a 3 b 2 c 1 - a 1 b 3 c 2 - a 2 b 1 c 3 )

Resposta

Então, podemos concluir e provar as propriedades citadas na questão,

d e t [ u ( e 1 + e 2 + e 3 ) ,   v ( e 1 + e 2 + e 3 ) ,   w ( e 1 + e 2 + e 3 ) ] = k ( a 1 b 2 c 3 +   a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 - a 3 b 2 c 1 - a 1 b 3 c 2 - a 2 b 1 c 3 )

f(u, v, w ) = k det[u, v, w]

Espero que ajudem nos estudos, até próxima

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