Enunciado

Seja m uma matriz 3X3 escalonada. Prove que o det[m] é o produto dos elementos da diagonal principal. Conclua que se det[m]=0 então a última linha de m é nula. Deduza daí que se uma matriz 3 x 3 tem determinante nulo, alguma de suas linhas é combinação linear das outras duas.( Perceba que isto da outra demonstração para propriedade 7)

Passo 1

Fala galerinha , vamos resolver mais uma questão do nosso livro de Geometria analítica e Álgebra Linear !!!

Primeiramente vamos escrever nossa matriz m e encontrar o determinante.

m = a 1 a 2 a 3 0 b 2 b 3 0 0 c 3

det ⁡ m = a 1 b 2 c 3

Mostrando que o determinante é o produto dos elementos da diagonal da matriz.

Com isso em mente, vamos então ao próximo passo...

Passo 2

Este passo será encontrar a situação para qual o valor do   det ⁡ m = 0  

E para isto possa ocorra, um de seus elementos devem ser igual a zero.

a 1 = 0   o u   b 2 = 0   o u   c 3 = 0

E como forma de demonstração é proposto que suas linhas são Linearmente independentes,

a 1 a 2 a 3 0 b 2 b 3 0 0 c 3 α β δ = 0 0 0

Resolvendo o sistema no próximo passo, ....

Passo 3

Agora vamos resolver,

a 1 a 2 a 3 0 b 2 b 3 0 0 c 3 α β δ = 0 0 0

a 1 α + a 2 β + a 3 δ = 0 b 2 β + b 3 δ = 0 c 3 δ = 0

Sendo,

c 3 δ = 0

δ = 0

Na próxima equação,

b 2 β + b 3 δ = 0

b 2 β = 0

β = 0

Para finalizar, a última equação ,

a 1 α + a 2 β + a 3 δ = 0

a 1 α + 0 + 0 = 0

a 1 α = 0

α = 0

Resposta

Então, podemos concluir que a matriz

det[ m ] = a 1 b 2 c 3

E como é L.I a última linha é nula,

m = a 1 a 2 a 3 0 b 2 b 3 0 0 0

E seus coeficientes,

α = β = δ = 0

Espero que ajudem nos estudos, até próxima

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