Enunciado

Seja M a matriz da Equação 10 . Usando o Exercício 6 , mostre que uma condição suficiente para a matriz M T M ser invertível é que n > m e que pelo menos m + 1 dos números x 1 ,   x 2 ,   ⋯ ,   x n são distintos.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Vamos considerar a seguinte matriz:

M = 1 1 ⋮ 1       x 1 x 2 ⋮ x n       x 1 2 x 2 2 ⋮ x n 2       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       x 1 m x 2 m ⋮ x n m

A transposta desta matriz é dada por:

M = 1 x 1 x 1 2 ⋮ x 1 m       1 x 2 x 2 2 ⋮ x 2 m       ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       1 x n x n 2 ⋮ x n m

Então, temos que M T M será uma matriz quadrada m + 1 × m + 1 .

Se n > m e pelo menos m + 1 dos números x 1 ,   x 2 ,   ⋯ ,   x n são distintos, as colunas serão linearmente independentes.

Portanto, pelo Teorema da Matriz Inversa, a matriz quadrada com colunas linearmente independentes será invertível.

Nos levando a concluir que uma determinada condição é suficiente para determinar que M T M seja invertível.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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2. Provar que u , λ v = λ u , v = λ u , v ,∀λ ∈ R e ∀u , v ∈ R n .
1. Sejam u = 1,2 , - 1 , v = 3,1 , 0 e w = 0,0 , 2 em R 3 . Calcular:a) u , u ; b) u , w ; c) u , v + w ; d) u , u ; e) u + v 2 ; f) u - v 2 .
5. Seja W o sub-espaço do R 4 gerado pelos vetores u 1 = 1,2 , 0,1 , u 2 = 2 , - 1,0 , 0 e u 3 = 0,0 , 1,0 . Calcular a projeção do vetor u sobre W nos seguintes casos: u = 3,1 , 2,2 ; u = 1,2 , 1,1 ;
4. Calcular p r o j gu nos seguintes casos: u = 1,2 , 1,4 e g = 4,0 , 0,1 ; u = 1,1 , 1,1 e g = 2,2 , 2,2 ; u = 4,3 , 5,2 , 5 e g = 1,1 , 1,1 , 1 .
Encontre a solução de quadrados mínimos dos seguintes sistemas:( b ) - x + y = 10 2 x + y = 5 x - 2 y = 20