Enunciado

Seja J n a matriz nxn, cujas entradas são iguais a 1. Mostre que se n > 1, então

( I n - J n ) - 1 = I n - 1 n - 1 J n

Passo 1

E vamos para mais uma resolução!!

Inicialmente, vamos relembrar que, pelas propriedades matriciais, o produto da matriz pela sua inversa é a matriz identidade, ou seja, A ∙ A - 1 = A - 1 ∙ A = I n .

Assim, se temos uma matriz resultante da subtração de duas matrizes

A = I n - J n

A ∙ A - 1 = I n

Substituindo:

I n - J n ∙ I n - J n - 1 = I n

Passo 2

Como foi proposto na questão que

( I n - J n ) - 1 = I n - 1 n - 1 J n

Vamos verificar se essa igualdade é válida a partir da comprovação da propriedade matricial

I n - J n ∙ I n - J n - 1 = I n

Assim, substituindo ( I n - J n ) - 1 :

I n - J n ∙ ( I n - 1 n - 1 J n ) = I n

Que, realizando a distributiva, pode ser reescrito como:

I n ∙ I n - 1 n - 1 J n - J n ∙ I n - 1 n - 1 J n = I n

I n ∙ I n - I n ∙ 1 n - 1 J n - J n ∙ I n + J n ∙ 1 n - 1 J n = I n

Passo 3

Outra propriedade matricial nos diz que a multiplicação de uma matriz qualquer pela matriz identidade é a própria matriz, assim:

I n - I n ∙ J n n - 1 - J n + 1 n - 1 J n 2 = I n

Como J n 2 = n J n :

I n - J n n - 1 - J n + n J n n - 1 = I n

Subtraindo I n dos dois lados:

- J n n - 1 - J n + n J n n - 1 = 0

Reorganizando a equação:

- J n + J n n - 1 = 0

- J n + J n = 0

Assim:

0 = 0

Como a igualdade obtida é verdadeira, sabemos que

I n - J n ∙ ( I n - 1 n - 1 J n ) = I n

É verdadeira e, portanto,

( I n - J n ) - 1 = I n - 1 n - 1 J n

Resposta

Demonstração ao longo dos passos.

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2.1.4 Se A^(- 1) = [[[3,2],[1,3]]] e B^(- 1) = [[[2,5],[3,-,2]]] , encontre (A B)^(- 1) *
2.1.2 Se possível, encontre as inversas das seguintes matrizes:(b) 1 2 2 1 3 1 1 3 2
2.1.5 Resolva o sistema A X = B , se A^(- 1) = [[[2,3],[4,1]]] e B = [[[5],[3]]]
2.1.2 Se possível, encontre as inversas das seguintes matrizes:(c) 1 1 1 1 1 2 - 1 2 1 - 1 2 1 1 3 3 2