Enunciado

Sejam A e B matrizes quadradas. Mostre que se A + B e A foram invertíveis, então

( A + B ) - 1 = A - 1 ( I n + B A - 1 ) - 1

Passo 1

Pelas propriedades matriciais: o produto da matriz pela sua inversa é a matriz identidade, ou seja, A ∙ A - 1 = A - 1 ∙ A = I n .

Assim, podemos dizer que

( A + B ) ∙ ( A + B ) - 1 = I n

Passo 2

Como nos foi dado a proposição de que

( A + B ) - 1 = A - 1 ( I n + B A - 1 ) - 1

Podemos substituir a inversa da soma:

( A + B ) ∙ ( A - 1 I n + B A - 1 - 1 ) = I n

Aplicando a distributiva, podemos reescrever como:

A ∙ ( A - 1 I n + B A - 1 - 1 ) + B ∙ ( A - 1 I n + B A - 1 - 1 ) = I n

Colocando ( I n + B A - 1 ) - 1 em evidência:

( A ∙ A - 1 + B ∙ A - 1 )   I n + B A - 1 - 1 = I n

Passo 3

Como sabemos que A ∙ A - 1 = I n :

( I n + B ∙ A - 1 )   I n + B A - 1 - 1 = I n

Aqui, podemos aplicar novamente a propriedade de que A ∙ A - 1 = I n , para qualquer matriz A, pois temos

( I n + B ∙ A - 1 )

E sua inversa

I n + B A - 1 - 1

Assim:

( I n + B ∙ A - 1 )   I n + B A - 1 - 1 = I n

É tal que

I n = I n

Que é uma igualdade válida e comprova, então, que

( A + B ) - 1 = A - 1 ( I n + B A - 1 ) - 1

Resposta

Demonstração ao longo dos passos.

Curtiu essa demonstração? Responde Aí!

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =1 - 1 - 4 1 .Mostraremos no Exemplo 6.6 na página 398 que P = 1 1 - 2 2 e D = 3 0 0 - 1 São tais que A = P D P - 1 .Determine A k , para k =1, 2, 3...
Mostre que se A é uma matriz invertível, então A+B e I n + B A - 1 são ambas invertíveis ou ambas não invertíveis.
Mostre que a matriz A = a b c d é invertível se, e somente se, ad – bc ≠ 0 e neste caso a inversa é dada por A - 1 = 1 a d - b c d - b - c a
Mostre que se A e B são matrizes nxn, invertíveis, então A e B são equivalentes por linhas.
Sejam A uma matriz mxn e B uma matriz nxm, com n