Enunciado

Seja A uma matriz nxn. Mostre que se A A t = 0 , então A = 0. E se a matriz A for mxn, com m n?

Passo 1

Dada uma matriz A quadrada:

A =   a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n

A transposta de A pode ser escrita como:

A t = a 11 a 21 a 12 a 22 ⋯ ⋯ a n 1 a n 2     ⋮   ⋯ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a n n   .

Passo 2

Agora, desenvolvendo o produto matricial:

A A t =   a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∙ a 11 a 21 a 12 a 22 ⋯ ⋯ a n 1 a n 2     ⋮   ⋯ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a n n

A A t =   a 11 a 11 + … + a 1 n a 1 n a 11 a 21 + … + a 1 n a 2 n a 21 a 11 + … + a 2 n a 1 n a 21 a 21 + … + a 2 n a 2 n ⋯ ⋯ a 11 a n 1 + … + a 1 n a n n a 21 a n 1 + … + a 2 n a n n   ⋮                                                                                 ⋯ ⋮ a n 1 a 11 + … + a n n a 1 n a n 1 a 21 + … + a n n a 2 n ⋯ a n 1 a n 1 + … + a n n a n n

Como a diagonal principal se torna a soma de elementos elevados ao quadrado ( a 11 a 11 ,   a 21 a 21 ,   a n n a n n … ) , só é possível que o resultado dê zero caso os elementos sejam iguais a 0. Como a diagonal principal inclui todos os elementos das matrizes do produto, A deve ser uma matriz nula.

Passo 3

Uma matriz não quadrada não apresenta diagonal principal, dessa forma, não ocorre o mesmo que foi analisado em uma matriz quadrada, e a pode ser não nula.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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