Enunciado

Seja A = (A_1 , A_2 , A_3) uma matriz de ordem 3 . Seja B = (A_1 - A_2 - A_3 , A_2 - A_1 - A_3 , A_3 - A_1 - A_2) . Provar que det (B) = - 4 det A .

Passo 1

Nossa propriedade 1 dos da que

det (A_1 , A_2 , ... , A_i +- A_i^' , ... , A_n) = det (A_1 , A_2 , ... , A_i , ... , A_n) +- det (A_1 , A_2 , ... , A_i^' , ... , A_n)

E ela, e somente ela, nos dará a resposta que queremos, esperamos.

Passo 2

Observe o seguinte, se tivessemos o seguinte determinante

det (A_1 - A_2 , A_3 - A_4)

Usando a propriedade acima, podemos reescrever nosso determinante como

det (A_1 - A_2 , A_3) + det (A_1 - A_2 , - A_4)

E aplicando novamente, teriamos

det (A_1 , A_3) + det (- A_2 , A_3) + det (A_1 , - A_4) + det (- A_2 , - A_4)

Ou seja, uma combinação de todas as linhas do determinante original.

Assim vamos tentar fazer o mesmo só que o determinante de B dado no enunciado.

Passo 3

Assim como fizemos no passo 2, tome nosso determinante dado por

d e t (A_1 - A_2 - A_3 , A_2 - A_1 - A_3 , A_3 - A_1 - A_2)

na qual podemos resumir nossos primeiros determinantes que levam como a primeira linha o termo A_1 como:

det (A_1 , A_2 , A_3) + det (A_1 , A_2 , - A_1) + det (A_1 , A_2 , - A_2) + det (A_1 , - A_1 , A_3) + det (A_1 , - A_1 , - A_1) + det (A_1 , - A_1 , - A_2) + det (A_1 , - A_3 , A_3) + det (A_1 , - A_3 , - A_1) + det (A_1 , - A_3 , - A_2) + ...

Se contínuarmos, perceba que teremos praticamente os mesmo termos, só que trocando a primeira linha por - A_2 e depois por - A_3 , ou seja

det (- A_2 , A_2 , A_3) + det (- A_2 , A_2 , - A_1) + det (- A_2 , A_2 , - A_2) + det (- A_2 , - A_1 , A_3) + det (- A_2 , - A_1 , - A_1) + det (- A_2 , - A_1 , - A_2) + det (- A_2 , - A_3 , A_3) + det (- A_2 , - A_3 , - A_1) + det (- A_2 , - A_3 , - A_2)

E

det (- A_3 , A_2 , A_3) + det (- A_3 , A_2 , - A_1) + det (- A_3 , A_2 , - A_2) + det (- A_3 , - A_1 , A_3) + det (- A_3 , - A_1 , - A_1) + det (- A_3 , - A_1 , - A_2) + det (- A_3 , - A_3 , A_3) + det (- A_3 , - A_3 , - A_1) + det (- A_3 , - A_3 , - A_2)

Que é a comabinação de todas as linhas da nossa matriz B .

Passo 4

Usando a ideia que se tivermos duas linhas iguais em nossa matriz, temos que o determinando é nulo, então os únicos termos na qual sobraram, serão det (A_i , A_j , A_k) na qual i != j != k .

Logo nos restará apenas

det (A_1 , A_2 , A_3) + det (A_1 , - A_3 , - A_2) + det (- A_2 , - A_1 , A_3) + det (- A_2 , - A_3 , - A_1) + det �� (- A_3 , A_2 , - A_1) + det (- A_3 , - A_1 , - A_2)

Tome ainda pela propriedade 1 , que det (A_1 , - A_2 , A_3) = - det (A_1 , A_2 , A_3) e tome também que det (A_1 , A_3 , A_2) = - det (A_1 , A_2 , A_3) , ou seja, teremos

det (A_1 , A_2 , A_3) - det (A_1 , A_2 , A_3) - det (A_1 , A_2 , A_3) - det (A_1 , A_2 , A_3) - det (A_1 , A_2 , A_3) - det (A_1 , A_2 , A_3)

Respectivamente. Assim os dois primeiros termos são opostos, mas os outros 4 são negativos, ou seja

det (B) = d e t (A_1 - A_2 - A_3 , A_2 - A_1 - A_3 , A_3 - A_1 - A_2) = - 4 det (A)

Como queriamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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