Enunciado

Mostrar que os dois conjuntos { 1 , - 1,2 , 3,0 , 1 } e - 1 , - 2,3 , ( 3,3 , - 4 ) geram o mesmo sub-espaço vetorial do R 3 .

Passo 1

Vamos lá! Primeira coisa que vamos fazer é escrever o primeiro conjunto de vetores como uma combinação linear:

a , b , c = λ 1 , - 1,2 + β 3,0 , 1 ,   c o m   λ , β   ∈   R

Da igualdade acima, formamos o sistema:

λ + 3 β = a - λ = b 2 λ + β = c

Passando para a forma matricial o sistema, temos

1 3 a - 1 0 b 2 1 c

Escalonando chegamos a

1 3 a 0 1 a + b / 3 0 0 - a + 5 b + 3 c / 3

Portanto, o sistema só vai ter solução quando - a + 5 b + 3 c = 0 .

Com isso, 1 , - 1,2 , 3,0 , 1 = { ( a , b , c ) ∈   R 3 :   - a + 5 b + 3 c = 0 } .

Beleza?!

Passo 2

Vamos fazer o mesmo procedimento para o conjunto e - 1 , - 2,3 , ( 3,3 , - 4 )

a , b , c = λ - 1 , - 2,3 + β ( 3,3 , - 4 ) ,   c o m   λ , β   ∈   R

Da igualdade acima, formamos o sistema:

- λ + 3 β = a - 2 λ + 3 β = b 3 λ - 4 β = c

Escalonando esse sistema, temos

λ - 3 β = a β = 2 a - b 3 0 = - a + 5 b + 3 c

Este sistema linear só admite solução quando - a + 5 b + 3 c = 0 , o que é a mesma condição do sub-espaço gerado por { 1 , - 1,2 , 3,0 , 1 } .

Portanto, os dois conjuntos geram o mesmo sub-espaço.

Beleza?!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

( x 0 , x 1 , … , x m , … ) tais que x n + 1 = a x n + b x n - 1 . Achar uma base de S nos casos:
( x 0 , x 1 , … , x m , … ) tais que x n + 1 = a x n + b x n - 1 . Achar uma base de S nos casos:
( x 0 , x 1 , … , x m , … ) tais que x n + 1 = a x n + b x n - 1 . Achar uma base de S nos casos:
( x 0 , x 1 , … , x m , … ) tais que x n + 1 = a x n + b x n - 1 . Achar uma base de S nos casos:
( x 0 , x 1 , … , x m , … ) tais que x n + 1 = a x n + b x n - 1 . Achar uma base de S nos casos: