Enunciado

Seja P a parábola de equação y 2 = 4 p x   ( p > 0 )

( a ) Prove que, se o vetor u → = ( m , n ) não é paralelo ao eixo da parábola, existe e é única a reta tangente a P paralela a u → . Determine o ponto de tangência e uma equação da reta tangente em função de m , n .

( b ) Que condições devem satisfazer as coordenadas de v → para que ele seja vetor normal a P em algum ponto?

( c ) Sendo v → = ( m , n ) um vetor não-ortogonal ao eixo da parábola, determine a reta tangente a P que é ortogonal a v → , e o respectivo ponto de tangência.

Passo 1

Sabendo que o eixo dessa parábola é o eixo x , então para u → não ser paralelo a O x basta fazer n ≠ 0 e aplicando um ponto X = ( h + λ m ,   k + λ n ) na equação da parábola (onde ( h , k ) é o ponto de tangência, nós descobriremos que para Δ = 0 (condição de tangência).

k n = 2 p m

Logo a solução de k em função de m e n seria

k = 2 p m n

E como a equação da parábola é:

y 2 = 4 p x

Logo:

k 2 = 4 p h

h = 4 p 2 m 2 4 p n 2 = p m 2 n 2

Então o ponto de tangência T seria:

T = p m 2 n 2 ; 2 p m n  

E como a equação de uma reta tangente no estilo de y 2 = 4 p x é:

k y = 2 p x + 2 p h

Então:

2 p m n y = 2 p x + 2 p p m 2 n 2  

m n y = x + p m 2 n 2

n 2 x - m n y + p m 2 = 0

Passo 2

Para que tenha um vetor normal a P o valor de m não pode ser nulo, isso é ele não pode ser perpendicular ao eixo da parábola.

O vetor normal para uma parábola desse tipo é dada por:

u → = ( - n , m )

Portanto a condição que encontraríamos com X = ( h + λ m ,   k + λ n ) e invertendo o vetor diretor desse vetor diretor, seria:

k m = - 2 p n

Então k seria:

k = - 2 p n m

E como:

k 2 = 4 p h

h = 4 p 2 n 2 4 p m 2 = p n 2 m 2

Portanto o ponto de tangência seria:

T = p n 2 m 2 ; - 2 p n m

E a equação de uma reta normal é:

k y = 2 p x + 2 p h

Pois invertemos o que seria m e n , então podemos usar essa equação:

- 2 p n m y = 2 p x + 2 p 2 n 2 m 2

Isso será:

- n m y = x + n 2 m 2

m 2 x + m n y + p n 2 = 0

Resposta

a )   T = p m 2 n 2 ; 2 p m n   ;     n 2 x - m n y + p m 2 = 0

b )   u → = m , n → m ≠ 0

c ) T = p n 2 m 2 ; - 2 p n m ;     m 2 x + m n y + p n 2 = 0

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