Enunciado

Seja π o plano que passa pela origem e é perpendicular à reta que une os pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 1, 0). Encontre a distância do ponto C = (1, 0, 1) ao plano π

Passo 1

Opa! Vamos lá!

Se o plano é perpendicular à reta que passa pelos pontos A e B, ele é perpendicular ao vetor A B → . Isso quer dizer que podemos usar o vetor A B → como vetor normal do plano.

Calculando o vetor A B → , temos:

A B → = ( - 1,1 , 0 )

Podemos dizer então que o plano é da forma:

- x + y + d = 0

Mas como ele passa pela origem, temos que d = 0 . Logo, o plano é:

- x + y = 0

ou

π :   x - y = 0

Passo 2

Vamos então calcular a distância entre o ponto C = ( 1,0 , 1 ) a esse plano:

d C ,   π = | a x 0 + b y 0 + c z 0 + d | a 2 + b 2 + c 2

d C ,   π =   | 1 1 + 0 - 1 + 1 0 + 0 | 1 2 + - 1 2 + 0 2

= 1 2

Essa é a distância procurada😊

Resposta

1 2

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Mostre que as retas com equações simétricas x = y = z e x + 1 = y / 2 = z / 3 são reversas e determine a distância entre elas.
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Determine a distância do ponto ao plano dado. 2,8 , 5 ,x - 2 y - 2 z = 1
Determine a distância entre os planos paralelos dados. z = x + 2 y + 1 ;3 x + 6 y - 3 z = 4