Enunciado

Seja P um ponto interior ao triangulo ABC tal que P A → + P B → + P C → = 0 . Prove que as retas AP, BP e CP são medianas de ABC, logo P é o baricentro desse triângulo.

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin?? É hora da resolução!!! Vamos lá??

Vamos definir como Q o ponto de interseção da reta BP com o segmento AC.

Disso podemos observar que:

Q A → =   α C A →

Logo,

Q C → =   Q A → + A C → =   α C A → -   C A → = ( α -   1 ) C A →  

Agora precisamos demonstrar que Q é ponto médio de AC, ou seja, α = 1 2 .

Para isso vamos definir o valor de cada vetor P A → ,     P B →   e   P C → :

P A → =   P Q → + Q A → =   P Q → + α C A →

P B → =   P Q → + Q C → + C B → =   P Q → + ( α -   1 ) C A →   + C B →

P C → =   P Q → + Q C → =   P Q → + ( α -   1 ) C A →

Logo,

P A → + P B → + P C → = P Q → + α C A → + P Q → + α -   1 C A →   + C B → + P Q → + ( α -   1 ) C A →

Simplificando:

P A → + P B → + P C → = 3 P Q → + 3 α -   2 C A →   + C B →           ( e q .   2 )

Por outro lado:

B Q → = B C → + C Q → =   - C B → - Q C → =   - C B → + ( 1 - α ) C A →

Temos ainda que:

P Q → = β B Q →

Assim:

P Q → =     - β C B → + β ( 1 - α ) C A →

Voltando para a equação 2, agora temos:

P A → + P B → + P C → = 3 ( - β C B → + β 1 - α C A → ) + 3 α -   2 C A →   + C B →

P A → + P B → + P C → = ( 3 β 1 - α + 3 α -   2 ) C A → + ( 1 - 3 β ) C B →

Como essa igualdade deve ser igual a zero, temos:

3 β 1 - α + 3 α -   2 = 0       e     1 - 3 β = 0

Pois C A →   e   C B → são linearmente independentes.

De 1 - 3 β = 0 →   β = 1 3

Substituindo em 3 β 1 - α + 3 α -   2 = 0 , temos α = 1 2 .

Como queríamos demonstrar. Portanto Q é o ponto médio de AC.

Para as outras medianas dos outros vértices do triângulo a demonstração é idêntica.

Resposta

Veja a demonstração acima.

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