Enunciado

Prove que X é um ponto interior ao triângulo de vértices A , B e C se, e somente se, existem α e β tais que α > 0 , β > 0 , α + β < 1 e C X → = α C A → + β C B → (um ponto é interior a um triângulo se é interior a um segmento que tem por extremidades um vértice e um ponto interior ao lado oposto.)

  1. X pertence à reta A B se, e somente se, existem α e β tais que C X → = α C A → + β C B → e α + β = 1 ;
  2. X pertence ao segmento A B se, e somente se, existem α e β tais que C X → = α C A → + β C B → , α ≥ 0 , β ≥ 0 e α + β ≥ 1 ;
  3. X é interior ao segmento A B (isto é, existe λ tal que 0 < λ < 1 e A X → = λ A B → ) se, e somente se, X A → e X B → são de sentido contrário.

Passo 1

Bom, vamos começar fazendo um desenho esquemático do que está acontecendo e de todas as informações que precisaremos. Portanto,

O que fizemos foi desenhar tudo que a questão nos disse. Primeiro, um triângulo de vértices A , B e C . Depois, um ponto interior X . Por fim, ela nos disse que um ponto é interior X se é interior a um segmento que tem extremidades um vértice C e um ponto interior D ao lado oposto (lado A B ).

Sacaram? Escolhemos exatamente nesta ordem para utilizarmos o mesmo raciocínio (inclusive com a nomenclatura) da questão anterior, a questão 5-4.

Passo 2

Feita todas as definições iniciais, vamos as nossas relações. Como D pertence ao segmento A B , temos:

A D → = λ A B →

Sendo 0 < λ < 1 . Continuando, o mesmo acontecerá com o ponto X . Portanto,

C X → = μ C D →

Sendo 0 < μ < 1 . O que devemos fazer é escrever C X → como combinação linear de C A → e C B → . Para isto, vamos escrever C D → como combinação destes vetores primeiramente. Portanto,

C D → = C A → + A D →

C D → = C A → + λ A B →

C D → = C A → + λ A C → + C B →

C D → = C A → + λ - C A → + C B →

C D → = 1 - λ C A → + λ C B →

Portanto, o vetor C X → será:

C X → = μ C D →

C X → = μ 1 - λ C A → + μ λ C B →

Se chamarmos α = μ 1 - λ e β = μ λ , temos:

C X → = α C A → + β C B →

E chegamos a nossa relação. O ponto X só será interior ao triângulo se existir um ponto D interior ao segmento A B e assim teremos a relação C X → = α C A → + β C B → .

Para finalizarmos, só falta provar a restrição α e β . Como 0 < μ < 1 e 0 < λ < 1 , automaticamente, α > 0 e β > 0 . Além disto,

α + β = μ 1 - λ + μ λ = μ

0 < α + β = μ < 1

E agora acabamos de provar tudo que a questão nos pediu!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcular o perímetro do triângulo de vértices A 0,1 , 2 , B - 1,0 , - 1eC 2 , - 1,0 .
Obter um ponto P do eixo das abscissas equidistantes dos pontos A 2 ,- 3 ,1 e B - 2 ,1 ,- 1 .
Demonstrar que o segmento cujos extremos são os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual à sua metade.
1. A figura 1.29 apresenta o losango E F G H inscrito no retângulo A B C D , sendo O o ponto de intersecção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmaç
1. A figura 1.29 apresenta o losango E F G H inscrito no retângulo A B C D , sendo O o ponto de intersecção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmaç