Enunciado

Dado o triângulo A B C , sejam X e Y os pontos tais que B X → = α B C → e A Y → = β A C → (Figura).

(a) Prove que A X ⫽ B Y se, e somente se, α - 1 β - 1 = 1 .

(b) Mostre que, se X é interior ao lado B C e Y é interior ao lado A C → , então as retas A X e B Y são concorrentes.

Passo 1

Vamos começar encontrando expressões simples para A X → e B Y → . Dê uma olhada no desenho para entender isso!

A X → = A C → + C X →

B Y → = B C → + C Y →

E vamos reescrever C X → e C Y → também:

A C → + C Y → = A Y → = β A C →         ⇒           C Y → = β - 1 A C →

B C → + C X → = B X → = α B C →         ⇒           C X → = α - 1 B C →

Substituindo isso nas equações de cima:

A X → = A C → + α - 1 B C →

B Y → = B C → + β - 1 A C →

E usando as relações B X → = α B C → e A Y → = β A C → :

A X → = 1 β A Y → + α - 1 B C → B Y → = 1 α B X → + β - 1 A C →

Passo 2

(b) Agora vamos lembrar do seguinte: um ponto X é interior a um segmento A B se existe algum λ que satisfaça:

0 < λ < 1           e           A X → = λ A B →

Isso é uma forma mais complicada de dizer que um ponto interior a um segmento, é um ponto que está no segmento.

Então se, no nosso triângulo, Y é interior a B C :

B Y → = λ   B C →

E se X é interior a A C :

A X → = λ   A C →

Vamos representar isso em um desenho:

Daqui podemos escrever que:

A X → = λ   A C → - X Y →

B Y → = λ   B C → + X Y →

E se A X → e B Y → forem paralelos, então tem que existir α tal que:

A X → = α B Y →

Ou seja:

λ   A C → - X Y → = α λ   B C → + α X Y →

Como X ≠ A ≠ C e Y ≠ B ≠ C , esses três vetores nunca podem ser paralelos. Então a solução exigira que:

α λ A C → = λ B C →

Mas B C → e A C → são concorrentes, porque são lados de um triângulo. Então não existe solução para o nosso sistema, e então os lados não podem ser paralelos.

Portanto, A X → e B Y → são concorrentes: não existe α tal que:

A X → = α B Y →

Resposta

(a) Demonstração.

(b) Demonstração.

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