Enunciado

Seja Ω a quádrica de equação 11 x 2 + 24 x y + 4 y 2 + 20 z 2 9 + 20 = 0 .

  1. Obtenha, por rotação em torno de O z , um sistema de coordenadas em relação ao qual a equação de Ω não apresenta termo quadrático misto e identifique a quádrica.
  2. Faça um esboço de Ω e desenhe, em vista frontal, suas projeções ortogonais sobre planos O x y , O x z e O y z .

Passo 1

Temos uma quádrica com termo misto! E agora? O que fazemos???

Calma, não se assustem, é simples. Vamos repetir todo o procedimento que fizemos com cônicas para eliminação do termo misto.

Mas aí vocês devem se questionar: e a variável z ? Simplesmente, vamos que esquecer que ela é uma variável. Por que não pensamos que ela é uma constante?

Portanto, temos a seguinte “cônica”:

11 x 2 + 24 x y + 4 y 2 + 20 z 2 9 + 20 = 0

E para eliminar o termo misto, temos que fazer uma rotação.

Passo 2

Vamos fazer a rotação da cônica. Os seus coeficientes são A = 11 , B = 24 , C = 4 e F = 20 z 2 9 + 20 .

Calculando c o t g 2 θ , temos:

c o t g 2 θ = A - C B = 11 - 4 24 = 7 24 =

Calculando o seno, temos:

sen 2 ⁡ 2 θ = 1 1 + c o t g 2 2 θ = 1 1 + 49 576

sen 2 ⁡ 2 θ = 1 625 576 = 576 625

Portanto,

sen ⁡ 2 θ = 24 25

Agora, vamos descobrir agora quem são A ' e C ' referente ao novo sistema. Logo,

A ' + C ' = A + C A ' - C ' = B sen ⁡ 2 θ ⟹ A ' + C ' = 15 A ' - C ' = 25

Resolvendo o sistema acima, obtemos A ' = 20 e C ' = - 5 . Portanto, temos a seguinte “cônica” rotacionada:

20 x 2 - 5 y 2 + 20 z 2 9 + 20 = 0

Mas calma, não fica legal usarmos as mesmas letras após fazermos uma mudança no sistema de coordenadas. Então, vamos chamar

20 u 2 - 5 v 2 + 20 w 2 9 + 20 = 0

Reorganizando, temos:

20 u 2 - 5 v 2 + 20 w 2 9 = - 20

Ω : - u 2 + v 2 4 - w 2 9 = 1

Equação esta sem a presença do termo quadrático misto e que facilmente conseguimos identificar que ela representa um hiperboloide de duas folhas!

Passo 3

O esboço das quádricas é algo um pouco mais difícil. Aqui, iremos mostrar como ela está se comportando no geral.

O importante, é sempre colocarem o vértice dela e indicar os eixos, como ela se comporta (eixo de simetria e etc). Portanto, temos o seguinte paraboloide:

Agora, vamos fazer as projeções do paraboloide com os planos O x y , O x z e O y z . Começando por O x y , temos:

Em relação a O x z , temos:

Por fim, em relação ao plano O y z , temos:

Resposta

  1. No novo sistema, a quádrica é expressa por: Ω : - u 2 + v 2 4 - w 2 9 = 1 . Ela representa um hiperboloide de duas folhas.
  2. O esboço do hiperboloide é:

Já a projeção nos planos O x y , O x z e O y z , são, respetivamente:

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