Enunciado

Seja Ω a quádrica de equação 9 x 2 + 36 y 2 - 4 z 2 - 18 x + 72 y + 16 z - 7 = 0 .

  1. Faça uma translação do sistema de coordenadas para eliminar os termos de primeiro grau e identifique a quádrica.
  2. Obtenha, em relação ao sistema antigo, uma equação do plano que contém a “cintura” de Ω .
  3. Faça um esboço de Ω e desenhe, em vista frontal, suas projeções ortogonais sobre os planos O x y , O x z e O y z .

Passo 1

Então, como temos uma equação do segundo grau a três incógnitas com termos lineares e sem termos mistos, podemos fazer uma translação para eliminar estes termos lineares.

Este é o nosso objetivo. Eliminar estes termos lineares para poder identificar a nossa quádrica. Então, temos que fatorar a equação. Portanto,

9 x 2 + 36 y 2 - 4 z 2 - 18 x + 72 y + 16 z - 7 = 0

9 x 2 - 18 x + 3 6 y 2 + 72 y + - 4 z 2 + 16 z - 7 = 0

9 ⋅ x 2 - 2 x + 36 ⋅ y 2 + 2 y - 4 ⋅ z 2 - 4 z = 7

9 ⋅ x 2 - 2 x + 1 - 9 + 36 ⋅ y 2 + 2 y + 1 - 36 - 4 ⋅ z 2 - 4 z + 4 + 16 = 7

9 ⋅ x - 1 2 + 36 ⋅ y + 1 2 - 4 ⋅ z - 2 2 = 7 + 9 + 36 - 16

9 ⋅ x - 1 2 + 36 ⋅ y + 1 2 - 4 ⋅ z - 2 2 = 36

x - 1 2 4 + y + 1 2 - z - 2 2 9 = 1

Vamos fazer uma translação da origem O = 0,0 , 0 para O ' = 1 , - 1 , 2 . Para isto, temos o seguinte sistema:

u = x - 1 v = y + 1 w = z - 2

E assim teremos a seguinte equação:

u 2 4 + v 2 - w 2 9 = 1

O que consiste em um hiperboloide de uma folha!

Passo 2

A “cintura” dita no enunciado da questão consiste na menor elipse possível, sendo esta obtida pela interseção do hiperboloide com algum plano.

Para o hiperboloide obtido na questão, a menor elipse será dada por

u 2 4 + v 2 = 1 + w 2 9

Quando fizermos a interseção com o plano w = α . E ela será a menor possível quando w = 0 , o que nos dá a seguinte elipse (no novo sistema):

u 2 4 + v 2 = 1

Portanto, o plano, no sistema antigo, é π : z - 2 = 0 .

Passo 3

O esboço das quádricas é algo um pouco mais difícil. Aqui, iremos mostrar como ela está se comportando no geral.

O importante, é sempre colocarem o vértice dela e indicar os eixos, como ela se comporta (eixo de simetria e etc). Portanto, temos o seguinte paraboloide:

Agora, vamos fazer as projeções do paraboloide com os planos O x y , O x z e O y z . Começando por O x y , temos:

Em relação a O x z , temos:

Por fim, em relação ao plano O y z , temos:

Resposta

  1. A translação foi:
  2. u = x - 1 v = y + 1 w = z - 2

    E com isto obtemos o hiperboloide de uma folha Ω : u 2 4 + v 2 - w 2 9 = 1 .

  3. π : z - 2 = 0
  4. O esboço do hiperboloide é:

Já a projeção nos planos O x y , O x z e O y z , são, respetivamente:

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