Enunciado

(a) Seja x ' y ' z ' o sistema de coordenadas retangulares obtido pela rotação do sistema de coordenadas retanqulares x y z no sentido anti-horário em torno do eixo y (olhando ao longo do eixo y positivo para a origem) pelo ângulo θ .

Encontre uma matriz A tal que

x ' y ' z ' = A x y z

Onde ( x , y , z ) e x ' , y ' , z ' são coordenadas do mesmo ponto nos sistemas x y z e x ' y ' z ' , respectivamente.

(b) Repita a parte (a) com uma rotação em torno do eixo x .

Passo 1

Bora resolver mais essa?

Quando temos um sistema de coordenadas retangulares x y z , e giramos no sentido anti-horário obtemos um novo sistema de coordenadas x ' y ' z ' .

O novo sistema de coordenadas e o antigo estão relacionados por

x ' y ' z ' = P - 1 x y z

Temos para x ' y ' z ' :

x ' = x cos ⁡ θ - z sen ⁡ θ

y ' = y

z ' = - x s en ⁡ θ + z cos ⁡ θ

Passo 2

Voltando para:

x cos ⁡ θ - z sen ⁡ θ y - x sen ⁡ θ + z cos ⁡ θ = P - 1 x y z

Temos que:

P T = cos ⁡ θ 0 sen ⁡ θ 0 1 0 - sen ⁡ θ 0 cos ⁡ θ

E como o exercício deu:

x ' y ' z ' = A x y z

A = cos ⁡ θ 0 - sen ⁡ θ 0 1 0 sen ⁡ θ 0 cos ⁡ θ

Resposta

A = cos ⁡ θ 0 - sen ⁡ θ 0 1 0 sen ⁡ θ 0 cos ⁡ θ

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