Enunciado

Seja g 1 , … , g n um subconjunto de um espaço euclidiano V cujos vetores são ortogonais dois a dois. Prove que ∑ i = 1 n g i 2 = ∑ i - 1 n g i 2 (teorema de Pitágoras generalizado).

Passo 1

Vamos lá! Vamos mostrar aqui usando dois vetores de V u e v . O processo irá se repetir para a generalização de todos os vetores de V , beleza?

Sabemos que u , v são ortogonais (pelo enunciado), então u , v = 0 . Show?

Além, disso, sabemos que

u 2 + v 2 = u 2 + 2 u , v + v 2

(isso foi provado na seção 2 deste capítulo).

Então vamos utilizar essas duas informações:

u 2 + v 2 = u 2 + 2 u , v + v 2

Como u , v = 0

u 2 + v 2 = u 2 + v 2

Show de bola?

O processo irá se repetir para todos os vetores de V, lembrando que eles são ortogonais dois a dois. Beleza?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T - 1 . T :R 2 → R 2 , T x , y = ( x , - y )
A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T - 1 . T :R 2 → R 2 , T x , y = ( x - 2 y , - 2 x + 3
A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T - 1 . T :R 2 → R 2 , T x , y = ( 5 x + 2 y , - 4 x -
A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T - 1 . T :R 2 → R 2 , T x , y = ( 2 x - y , - 4 x + 2
A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T - 1 . T :R 3 → R 3 , T x , y , z = ( x - y + 2 z , y