Enunciado

7. Em cada parte, encontre todas as soluções de mínimos quadrados de A x = b → e confirme que todas as soluções têm o mesmo vetor erro. Calcule o erro de mínimos quadrados.

(a) A = 2 1 4 2 - 2 1 ; b → = 3 2 1

(b) A = 1 3 - 2 - 6 3 9 ; b → = 1 0 1

(c) A = - 1 3 2 2 1 3 0 1 1 ; b → = 7 0 - 7

Passo 1

(a) O sistema normal vai ser:

A T A x → = A T b →

Fazendo A T A :

A T A = 1 - 2 3 3 - 6 9 1 3 - 2 - 6 3 9

A T A = 14 42 42 126

Agora fazendo A T b → :

A T b → = 1 - 2 3 3 - 6 9 1 0 1

A T b → = 4 12

O sistema normal:

14 42 42 126 x 1 x 2 = 4 12

Passo 2

Vamos escalonar:

14 14 42 14 42 126 x 1 x 2 = 4 14 12

1 3 42 126 x 1 x 2 = 2 7 12

Fazendo (linha 2)=(linha 2)-42(linha 1):

1 3 42 - 42 126 - 429 3 x 1 x 2 = 2 7 12 - 42 2 7

1 3 0 0 x 1 x 2 = 3 7 0

Escrevendo o sistema e resolvendo:

x 1 + 3 x 2 = 2 7 0 x 2 = 0

x 2 = t

x 1 + 3 t = 2 7

x 1 = 2 7 - 3 t

Então a solução é:

x = 2 7 0 + t - 3 1

Passo 3

Achando o erro:

e → = b → - A x →

e → = 1 0 1 - 1 3 - 2 - 6 3 9 2 7 0 + t - 3 1

e → = 1 0 1 - 2 7 - 4 7 6 7 + t 0 0 0

e → = 5 7 4 7 1 7

Resposta

x = 2 7 0 + t - 3 1

e → = 5 7 4 7 1 7

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Existe algum valor de s com o qual x 1 = 1 e x 2 = 2 seja a solução de mínimos quadrados do sistema linear dado?x 1 - x 2 = 1 2 x 1 + 3 x 2 = 1 4 x 1 + 5 x 2 = s Explique seu raciocínio.
Prove: se A tiver vetores coluna linearmente independentes e b for ortogonal ao espaço coluna de A , então a solução de mínimos quadrados de A x = b é x = 0 .
4. Em cada parte, encontre a solução de mínimos quadrados do sistema linear A x = b → .(a) A = 3 2 - 1 1 - 4 3 1 10 - 7 ;b → = 2 - 2 1 (b) A = 2 0 - 1 1 - 2 0 2 - 1 0 0 1 - 1 ; b → = 0 6 0 6
6. Em cada parte, encontre o vetor erro e → = b → - A x → que resulta da solução de mínimos quadrados x → e verifique que é ortogonal ao espaço coluna de A .(a) A e b → como no Exercício 4(a)(b) A e b
5. Em cada parte, encontre o vetor erro e → = b → - A x → que resulta da solução de mínimos quadrados x → e verifique que é ortogonal ao espaço coluna de A .(a) A e b → como no Exercício 3(a)(b) A e b