Enunciado

Seja T : V → R 5 uma transformação linear.

(a) Se T é sobrejetiva e d i m ( N ( T ) ) = 2 , qual a dimensão de V ?

(b) Se T é sobrejetiva e injetiva, qual a dimensão de V?

Passo 1

Fala, pessoal!

Bom, para começar, vamos lembrar que uma transformação é sobrejetiva quando a imagem da transformação é igual ao conjunto sobre o qual a transformação é levada. Como assim? Vamos pegar o exemplo dessa questão: T : V → R 5 . Se a transformação é sobrejetiva, quer dizer que todo vetor r em R 5 pode ser obtido a partir da transformação r = T v para algum vetor em V .

(a)Com essa informação em mente, podemos concluir que a dimensão da imagem de T é igual a dimensão de R 5 , ou seja, 5 . Usando o Teorema 3.8 do livro, temos

d i m   ( N ( T ) ) + d i m ( I ( T ) ) = d i m   V

Já descobrimos que d i m ( I ( T ) ) = 5 e o enunciado deu d i m ( N ( T ) ) = 2 . Então,

d i m   V = d i m   ( N ( T ) ) + d i m ( I ( T ) ) = 2 + 5 = 7

Passo 2

Agora, precisamos que uma função é injetiva quando f ( x ) = f ( y ) implica que x = y , ou seja, cada elemento i da imagem só pode ser obtido de um único vetor u ∈ V através de T : i = T u . Nesse caso, o Teorema 3.7 diz que N ( T ) = { 0 ̄ } , então d i m ( N ( T ) ) = 0 . Ainda temos d i m ( I ( T ) ) = 5 porque a transformação é sobrejetiva. Assim,

d i m   V = d i m   ( N ( T ) ) + d i m ( I ( T ) ) = 0 + 5 = 5

Resposta

(a) d i m   V = 7

(b)   d i m   V = 5

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