Enunciado

Sejam α = { 1,1 , ( 2,0 ) } e β = { - 1,0 , ( 2,1 ) } . A partir das bases α e β construa bases ortonormais, usando o método de Gram-Schmidt. Se estas novas bases forem α ' e β ' respectivamente, mostre que a matriz de mudança de base I β ' α ' é ortogonal.

Passo 1

Vamos ortogonalizar a base α :

u 1 = ( 1,1 )

u 2 = ( 2,0 ) - < u 1 , 2,0 > u 1 < u 1 , u 1 >

Mas:

< 1,1 , 2,0 >   = 2   e < u 1 , u 1 >   = 1 + 1 = 2  

Logo:

u 2 = 2,0 - 1,1 = ( 1 , - 1 )

Que resulta em: α ' = { 1,1 , ( 1 , - 1 ) } .

Passo 2

Vamos ortogonalizar a base β :

u 1 = ( - 1,0 )

u 2 = ( 2,1 ) - < u 1 , 2,1 > u 1 < u 1 , u 1 >

Mas:

< - 1,0 , 2,1 >   = - 2   e < u 1 , u 1 >   = 1 + 0 = 1

Logo:

u 2 = 2,1 + 2 - 1,0 = ( 0,1 )

Que resulta em:

β ' = - 1,0 , ( 0,1 )

Passo 3

Temos que construir a matriz de mudança de base. Queremos:

I β ' α '

Que é a matriz de transição de β ' para α ' . Para construí-la, devemos expressar a base α ' na base β ' , veja:

- 1,0 = a 1,1 + b ( 1 , - 1 )

0,1 = c 1,1 + d ( 1 , - 1 )

Resolvendo, temos:

a =   - 1 2 ; b = - 1 2 ; c = 1 2   e   d = - 1 2

Logo:

I β ' α ' = - 1 2 1 2 - 1 2 - 1 2

Passo 4

A inversa dessa matriz é simples de ser obtida e é dada por:

I β ' α ' - 1 = - 1 - 1 1 - 1

E sua transposta:

I β ' α ' T = - 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2

Que são iguais. Do que segue que a matriz de mudança de base não é ortogonal.

Resposta

Demonstração.

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