Enunciado

Sejam W 1   e   W 2 subespaços de um espaço vetorial V tais que V = W 1 ⊕ W 2 . Defina o operador linear P : V → V , projeção em W 1 paralelo a W 2 da seguinte forma: todo vetor V ∈ V se escreve de maneira única como soma   V = V 1 + V 2 , com V 1 ∈ W 1 e   V 2 ∈ W 2 . Define-se então p V = V 1 . Mostre que I p = W 1 ,   N p = w 2     e     P 2 = P .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja W 1   e   W 2 subespaços de um espaço vetorial V tais que V = W 1 ⊕ W 2 . Defina o operador linear P : V → V , projeção em W 1 paralelo a W 2 da seguinte forma: todo vetor V ∈ V se escreve de maneira única como soma   V = V 1 + V 2 , com V 1 ∈ W 1   e   V 2 ∈ W 2 . Define-se então p V = V 1 . Mostre que I p = W 1 ,   N p = w 2     e     P 2 = P .

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Sabendo que,

  V = V 1 + V 2 , com V 1 ∈ W 1   e   V 2 ∈ W 2

Para mostrar que,

V = W 1 ⊕ W 2

Temos,

I p = W 1 ,   N p = w 2     e     P 2 = P

Ficando,

V = I ( P ) ⊕ N ( P )

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

V = I ( P ) ⊕ N ( P )

Exercícios de Livros Relacionados

Seja F ∈ L P 2 R , R , definida por F p t = ∫ - 1 1 p t d t . Determinar a matriz de F em relação às bases: B = 1 , t , t 2 e C = 1 ; B = 1,1 + t , - 1 + t 2 e C = - 2 ;
Seja F ∈ L P 2 R , R , definida por F p t = ∫ - 1 1 p t d t . Determinar a matriz de F em relação às bases: B = 1 , t , t 2 e C = 1 ; B = 1,1 + t , - 1 + t 2 e C = - 2 ;
Seja F o operador linear do R 2 cuja matriz em relação à base B = 1,0 , 1,4 é F B = 1 1 5 1 Determinar a matriz de F em relação à base canônica, usando a fórmula de mudança de base para um operador.
Calcular o traço da matriz do operador linear F ∈ L R 3 dado por F x , y , z = x , x - y , x + z . Generalizar para F x , y , z = a x + b y + c z , d x + e y + f z , g x + h y + i z .
Seja F in L (R^3 , R^2) definida por F (x , y , z) = (x + z , y - 2 z) . Determinar (F)_B , C sendo B = {(1,2 , 1) , (0,1 , 1) , (0,3 , - 1)} e C = {(1,5) , (2 , - 1)} .