Enunciado

Sejam P 1 , … , P k : V → V operadores lineares tais que

(i) P 1 + … + P k = I .

(ii) P i P j = 0 , a transformação linear nula, se i ≠ j

Mostre que

(a) P i 2 = P i , para i = 1 , … , k .

(b) V = w 1 ⊕ … ⊕ w k , onde w i = I p i , para i = 1 , … , k .

(c) Se V = V 1 + … + V k , com   V 1 ∈ w 1 , … V k ∈ w k . Entao, P i V = V i , para i = 1 , … k .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja P 1 , … , P k : V → V operadores lineares tais que

(i) P 1 + … + P k = I .

(ii) P i P j = 0 , a transformação linear nula, se i ≠ j

Mostre que

(a) P i 2 = P i , para i = 1 , … , k .

(b) V = w 1 ⊕ … ⊕ w k , onde w i = I p i , para i = 1 , … , k .

(c) Se V = V 1 + … + V k , com   V 1 ∈ w 1 , … V k ∈ w k . Entao, P i V = V i , para i = 1 , … k .

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Sabendo que,

(i) P 1 + … + P k = I .

(ii) P i P j = 0 , a transformação linear nula, se i ≠ j

Na letra (a) para,

P i 2 = P i , para i = 1 , … , k temos,

P i 2 = p 1 , p 2 , … , p 1 + k  

Na letra (b) para,

V = w 1 ⊕ … ⊕ w k , onde w i = I p i , para i = 1 , … , k temos

V = w 1 ⊕ … ⊕ w k + 1   ≠ 0

E por fim na letra ( c ) para,

V = V 1 + … + V k , com   V 1 ∈ w 1 , … V k ∈ w k então

p i V ≠ 0

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) P i 2 = p 1 , p 2 , … , p 1 + k  

b) V = w 1 ⊕ … ⊕ w k + 1   ≠ 0

c) p i V ≠ 0

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