Enunciado

Sejam A = x 1 ,   y 1 ,   z 1 , B = x 2 ,   y 2 ,   z 2 e C = ( x 3 ,   y 3 ,   z 3 ) pontos quaisquer. Examine se são verdadeiras ou falsas as afirmações seguintes. Justifique sua resposta e interprete geometricamente.

a) Se o determinante formado pelas coordenadas de A , B e C é nulo, isto é,

Δ = x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 = 0

então A , B e C são colineares.

b) Se A , B e C são colineares, então Δ = 0 .

Passo 1

Esse exercício é bem interessante para discutir algumas noções de “ida e volta” em matemática!

Já vou dar a resposta logo de cara e em seguida justificar cada caso: a afirmativa (a) é falsa, mas a (b) é verdadeira. Sei que parece estranho uma ser verdadeira e a outra falsa, já que elas parecem dizer a mesma coisa, mas cuidado: elas não dizem a mesma coisa!

A afirmativa (a) diz que

Δ = 0 ⇒ A ,   B   e   C   c o l i n e a r e s

Já a afirmativa (b) diz que

A ,   B   e   C   c o l i n e a r e s   ⇒ Δ = 0

O que significa a afirmativa (b) ser falsa: se soubermos que os três pontos são colineares e calcularmos o determinante, vamos obter Δ = 0 . Mas o fato da afirmativa (a) ser falsa diz que a recíproca não é verdadeira: se o determinante for zero, não significa que necessariamente os pontos serão colineares, eles podem não ser. Vou dar um contra exemplo para mostrar isso:

A = 1 ,   2 ,   2 ,               B = 3 ,   4 ,   1                 e               C = ( 1 ,   0 ,   - 3 )

Calculando o determinante:

Δ = 1 2 2 3 4 1 1 0 - 3 = 1 ⋅ - 12 - 0 - 2 ⋅ - 9 - 1 + 2 ⋅ 0 - 4 = - 12 + 20 - 8 = 0

Mas   A C → = ( 0 ,   - 2 ,   - 5 ) e   A B → = ( 2 ,   2 ,   1 ) são LI, de modo que os pontos são não colineares. Assim, temos um caso em que Δ = 0 mas os pontos não são colineares.

O que nós sabemos com certeza é que se os pontos fossem colineares, o determinante seria nulo, mas ele pode ser nulo mesmo que os pontos não sejam colineares!

Passo 2

Agora vamos demonstrar que o item (b) é verdadeiro. Para isso, vamos considerar a origem O = ( 0 ,   0 ,   0 ) . Se os pontos A , B e C são colineares, então os pontos O , A , B e C estão num mesmo plano:

Assim, o conjunto O A → , O B → ,   O C → é LD. Portanto, o determinante das coordenadas desses vetores deve ser nulo:

x 1 - 0 y 1 - 0 z 1 - 0 x 2 - 0 y 2 - 0 z 2 - 0 x 3 - 0 y 3 - 0 z 3 - 0 = 0

Assim,

Δ = x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 = 0

Resposta

F     V

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