Enunciado

Sejam A = ( 1 ,   6 ,   4 ) , B = ( 2 ,   - 1 ,   9 ) , C = ( 1 ,   1 ,   - 1 ) e D = ( 1 ,   1 ,   a ) . Para que valores de a esses pontos são vértices de um quadrilátero? Este quadrilátero é plano ou reverso?

Passo 1

Para que os pontos sejam vértices de um quadrilátero, três deles devem ser sempre não-colineares. Assim, devemos impor que:

A ,   B e C não são colineares, A ,   B e D não são colineares, A ,   C e D não são colineares e B ,   C e D não são colineares. Essas condições são equivalentes a: A B → ,   A C → é LI, A B → , A D → é LI, A C → ,   A D → é LI e B C → ,   B D → é LI. Vamos verificar isso!

A B → = B - A = ( 1 ,   - 7 ,   5 )

A C → = C - A = ( 0 ,   - 5 ,   - 5 )

A D → = D - A = ( 0 ,   - 5 ,   a - 4 )

B C → = C - B = ( - 1 ,   2 ,   - 10 )

B D → = D - B = ( - 1 ,   2 ,   a - 9 )

Naturalmente vemos que A B → ,   A C → é LI, assim como A B → , A D → . Isso pode ser visto pois a primeira coordenada de   A B → não é nula, enquanto as primeiroas coordenadas de   A C → e   A D → são.

Para que A C → ,   A D → seja LI, devemos ter

- 5 5 ≠ - 5 a - 4 ⇒ a ≠ - 1  

Da mesma forma, para que B C → ,   B D → seja LI, devemos ter

a - 9 ≠ - 10 ⇒ a ≠ - 1

Assim, a condição para que esses quatro pontos sejam vértices de um quadrilátero é

a ≠ - 1

Passo 2

Respeitada essa condição, vamos verificar se o quadrilátero é plano ou reverso. Para isso, vamos ver se o conjunto A B → ,   A C → ,   A D → é LD ou LI:

1 - 7 5 0 - 5 - 5 0 - 5 a - 4 = 1 ⋅ - 5 a + 20 - 25 = - 5 ( a + 1 )

Como a ≠ - 1 , esse determinante é diferente de 0 . Sendo assim, o conjunto é LI, de modo que o quadrilátero é reverso!

Resposta

a ≠ - 1

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Calcule a expressão dada com u = - 2 ,- 1 ,4 ,5 ,v = 3 ,1 ,- 5 ,7 ,w = ( - 6 ,2 ,1 ,1 ) . u - 2 × v - 3 × w u + - 2 v + - 3 w u - v × w
Calcule a expressão dada com u = 2 ,- 2,3 ,v = 1 ,- 3 ,4 ,w = 3 ,6 ,- 4 . u + v . u + v . - 2 × u + 2 × v 3 × u - 5 × v + w
Deduza as equações da rotação de θ radianos, em sentido anti-horário, do sistema ortogonal Σ = O , e → 1 , e → 2 , e → 3 em torno de O x , e também em torno de O y (Figura 21-5).Interprete as equações
Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de w em relação à base S={ u 1 ,u 2 } .(b) u 1 = 1 ,- 1 ;u 2 =1 ,1 ,w = 1 ,1 .