Enunciado

Sejam B   =   { v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v 4 } uma base de um espaço vetorial V e T   :   V   →   V o operador linear dado por

T v 1 = v 1 + v 2 + v 3 + 3 v 4

T v 2 = v 1 - v 2 + 2 v 3 + 2 v 4

T v 3 = 2 v 1 - 4 v 2 + 5 v 3 + 3 v 4

T v 4 = - 2 v 1 + 6 v 2 - 2 v 3 - 2 v 4

  1. Encontre o Posto e a Nulidade de T .
  2. Determine se T é injetor.

Passo 1

Vamos lá! primeiro pra facilitar nossa vida vamos escrever nosso T em forma de matriz, assim temos:

T v 1 T v 2 T v 3 T v 4 = 1 1 1 3 1 - 1 2 2 2 - 4 5 3 - 2 6 - 2 2 ⋅ v 1 v 2 v 3 v 4

A nulidade nada mais é do que a dimensão de N u c ( T ) , assim temos:

0 0 0 0 = 1 1 1 3 1 - 1 2 2 2 - 4 5 3 - 2 6 - 2 2 ⋅ v 1 v 2 v 3 v 4

Isso nos dá um sistema de equações:

a + b + c + 3 d = 0 a - b + 2 + 2 d = 0 2 a - 4 b + 5 c + 3 d = 0 - 2 a + 6 b - 2 c + 2 d = 0

Assim:

a = 3 c 2 - 3 d 2

b = - 4 c + 7 d

c = c

d = d

Logo:

N u c T = 3 c 2 - 3 d 2 - 4 c + 7 d c d

Por fim temos:

N u l T = d i m N u c T = 1

Passo 2

  1. Vamos calcular nosso posto usando o teorema de Rouché-Capelli.

    Se a - 3 b + c ≠ 0 , temos:

    Logo:

    P o s T = dim ⁡ I m T = 4

    Passo 3

Como nosso sistema foge à regra P o s T + N u l T = n , sendo n a dimensão da nossa transformação linear, T não é injetora!

Inclusive provamos isso no item ( a ) quando achamos uma solução a , b , c , d ≠ 0 !

a = 3 c 2 - 3 d 2

b = - 4 c + 7 d

c = c

d = d

Isso é tudo pessoal! Até a próxima!

Resposta

  1. N u l T = d i m N u c T = 1 ,   P o s T = dim ⁡ I m T = 4
  2. Não é injetora.
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