Enunciado

Determine o ângulo entre os vetores. (Encontre inicialmente uma expressão exata e depois aproxime o valor até a precisão de um grau.)

a = < 4,0 , 2 > b = < 2 , - 1,0 >  

Passo 1

Para determinarmos o ângulo entre dois vetores, precisamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores a e b , cujo ângulo entre eles seja θ também pode ser dado por:

a ∙ b = a b cos ⁡ θ

Como temos os vetores a = ( 4 ,   0 ,   2 ) e b = ( 2 ,   - 1 ,   0 ) , podemos calcular:

a ∙ b =   8 + 0 + 0 = 8  

Agora só precisamos calcular o módulo dos vetores:

a = 16 + 0 + 4 = 2 5

b = 4 + 1 + 0 = 5

Passo 2

Agora tudo ficou mais simples. Basta substituirmos os valores na primeira equação:

8 = 10 cos ⁡ θ

cos ⁡ θ =   4 5  

Logo θ é o arco, cujo cos ⁡ θ satisfaz a equação acima. Então:

θ = cos - 1 ⁡ 4 5 ≅ 37 °

Resposta

37 o

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Dado u → ≠ 0 → , considere o conjunto A dos vetores ortogonais a u → . Prove que, quaisquer que sejam v → e w → de A , u → ∧ v → = u → ∧ w → ⇒ v → = w → (esta é uma situação muito especial, em que se
a) Prove que, se θ = a n gu → ,v → , então u → 2 v → 2 - u → ⋅ v → 2 = u → 2 v → 2s e n 2 θ . Conclua que, na Definição 11-1, a condição ( b 1 ), pode ser substituída por u → ∧ v → 2 = u → 2 v → 2 - u
Sejam B uma base ortonormal positiva, u → = 1 ,- 3 2 , 1 2 B ,v → = 6 ,- 2 ,- 4 B e w → = 1 7 , 2 7 , 3 7 B .Calcule ( u → ∧ v → ) ∧ w → e u → ∧ ( v → ∧ w → ) diretamente e, depois, utilizando [11-12]
Prove que:a) u → ∧ v → ∧ w → ∧ t → = - v → . w → ∧ t → u → + u → . w → ∧ t → v → b) u → ∧ v → ∧ w → ∧ t → = u → ∧ v → . t → w → - u → ∧ v → w → t →
Prove que:a) u → ∧ v → ∧ w → ∧ t → = v → . t → u → ∧ w → - ( v → . w → ) u → ∧ t → b) u → ∧ v → ∧ w → ∧ t → = u → . w → ∧ t → v → - ( u → . v → ) w → ∧ t →