Enunciado

Sejam ( a → ,   b → ,   c → ) uma base positiva, u → = a → ∧ b → ,   v → = ( a → + b → ) ∧ c → e w → = ( b → ∧ a → ) ∧ a → .

(b) Calcule o volume de um paralelepípedo cujas arestas são paralelas a u → ,   v → e w → e têm comprimento u → ,   v → e w → , sabendo que a → e c → são unitários, a norma de b → é 2 e a base ( a → ,   b → ,   c → ) é ortogonal.

Passo 1

Da letra (a), temos as seguintes equações:

u → , v → , w → = - M . b → ∧ a → 2

a → , b → , c → = M

Certo? Então, mão na massa!

Passo 2

Primeiramente, sabendo que a → ,   b → ,   c → é uma base ortogonal, vamos calcular a → , b → , c → :

O enunciado nos diz que a → e c → são unitários e a norma de b → é 2, logo:

a → = c → = 1

b → = 2

a → , b → , c → = a → . b → . c → = 1.2 . 1 = 2 ⇒ M = 2

Passo 3

Agora, calculando [ u → ,   v → ,   w → ] , temos

b → ∧ a → = 2

u → ,   v → ,   w → = - M . b → ∧ a → 2 = - 2 . 2 2 = - 8

Passo 4

Por fim, podemos calcular o volme V do paralelepípedo. Sabemos, por definição que

V = u → ,   v → ,   w →

Assim:

V = u → ,   v → ,   w → = - 8 = 8

Resposta

(b) O volume do paralelepípedo é V = 8 .

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