Enunciado

Sejam F 1 e F 2 ∈ R 3 * definidas por F 1 x , y , z = x - 3 y + 2 z e F 2 x , y , z = 2 x - y + z . Determinar F 1 + F 2 , 2 F 1 + 3 F 2 e os respectivos núcleos.

Passo 1

A soma de funções podemos dizer que estamos seguros em resolver, mas e o núcleo? O que é o núcleo de uma função? Bom, o núcleo da função é dada pelo conjunto que levam nossa função ao vetor nulo.

Passo 2

Se F 1 x , y , z = x - 3 y + 2 z e F 2 x , y , z = 2 x - y + z , então

F 1 + F 2 = x - 3 y + 2 z + 2 x - y + z = 3 x - 4 y + 3 z

Então agora queremos saber pra que conjunto de x , y e z , temos que

F 1 + F 2 = 0

Ou seja, o núcleo de F é

K e r F = x , y , z ∈ R 3 3 x - 4 y + 3 z = 0

x , y , 4 3 y - x

Passo 3

Agora para 2 F 1 + 3 F 2 ,

2 F 1 + 3 F 2 = 2 x - 3 y + 2 z + 3 2 x - y + z = 2 x - 6 y + 4 z + 6 x - 3 y + 3 z

= 8 x - 9 y + 7 z

2 F 1 + 3 F 2 = 0

Ou seja, o núcleo de F é

K e r F = x , y , z ∈ R 3 8 x - 9 y + 7 z = 0

x , y , 9 7 y - 8 7 x

Resposta

F 1 + F 2 = 3 x - 4 y + 3 z

2 F 1 + 3 F 2 = 8 x - 9 y + 7 z

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