Enunciado

Seja

A = ([[[[a],[a],[vdots]]],[a]]) ( b b ... b )

Quanto é d e t ( A ) ?

Passo 1

Primeiro podemos tentar entender como podemos escrever melhor nossa matriz A . Ou seja, fazendo a multiplicação dos vetores, teremos

([[[[a],[a],[vdots]]],[a]]) (b b ... b) = ([[a,b,cdots,a,b],[vdots,ddots,vdots],[a,b,cdots,a,b]])

Ou seja, a multiplicação das matrizes n xx 1 * 1 xx n implica em uma matriz n xx n que mutiplica cada elemento de uma com o elemento da outra matriz.

Passo 2

Então agora podemos calcular o determinante de nossa matriz A dada por

det (A) = det ([[a,b,cdots,a,b],[vdots,ddots,vdots],[a,b,cdots,a,b]])

Se removermos o termo a b de uma determinada linha, teremos que

det ([[a,b,cdots,a,b],[vdots,ddots,vdots],[a,b,cdots,a,b]]) = a b * det ([[[[a,b,cdots,a,b],[vdots,ddots,vdots],[a,b,cdots,a,b]]],[[[1,cdots,1]]]])

Se removermos de todas as linhas

det ([[a,b,cdots,a,b],[vdots,ddots,vdots],[a,b,cdots,a,b]]) = (a b)^n * det ([[1,cdots,1],[vdots,ddots,vdots],[1,cdots,1]])

Passo 3

Agora perceba o seguinte: tome o determinante da matriz a baixo

det ([[1,1],[1,1]]) = 1 - 1 = 0

Se nossa matriz fosse 3 xx 3 então pelo método do co-fator

det ([[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]) = + 1 * det ([[1,1],[1,1]]) - 1 * det ([[1,1],[1,1]]) + 1 * det ([[1,1],[1,1]]) = 0

E se fossemos aplicar mais pra matrizes maiores n xx n . Teriamos uma série de somadas de zeros. Logo simplesmente por termos duas linhas iguais jão teriamos que o determinate é nulo. Desta forma termos que o determinante de A : n xx n será nulo.

Resposta

z e r o

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada parte, encontre o determinante, sabendo que A é uma matriz 3 × 3 com det ⁡ A = 7 d )det ⁡ ( 2 A ) - 1
Seja A x = b um sistema de n equações lineares e n incógnitas com todos os coeficientes e as constantes números inteiros. Prove que se det ⁡ A = 1 , então a solução x tem entradas inteiras.
Seja A = ([[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]) supondeo que det (A) = - 7 , obtenha det (3 A)
Seja A x = b o sistema 4 x + y + x + w = 6 3 x + 7 y - z + w = 1 7 x + 3 y - 5 z + 8 w = - 3 x + y + z + 2 w = 3 . Qual método envolve menos contas?
Em cada parte, encontre o determinante, sabendo que A é uma matriz 4 × 4 com det ⁡ A = - 2 c )det ⁡ 2 A T