Enunciado

Sejam s 1 e t 1 duas retas concorrentes em B, tangentes à circunferência de centro A e raio r 1 , (Figura 5-10). Com centro em um ponto P da semi-reta de origem B que contém A, traça-se a circunferência de raio r 2 (menor que r 1 ), tangente às retas s 1 e t 1 . Sejam s 2 e t 2 duas retas tangentes à segunda circunferência, concorrentes em R. Com centro em um ponto Q da semi-reta de origem R que contém P, traça-se a circunferência de raio r 3 (menor que r 2 ), tangente às retas s 2 e t 2 . Sejam s 3 e t 3 as retas tangentes comuns à primeira e à terceira circunferências que tenham em comum um ponto C da reta AQ, exterior ao segmento AQ. Prove que B, C e R são colineares..

Passo 1

Bora lá!

Na figura abaixo estão representados, além dos pontos originais dados no problema, os pontos de tangência das retas com as circunferências. Os segmentos BC e CR foram suprimidos propositalmente para que não haja a falsa impressão de que já a princípio os pontos B, C e R são colineares. Os segmentos coloridos unem o centro da circunferência aos seus pontos de tangência com as retas.

Notem que:

( i ) Os segmentos fazem um ângulo de 90° com as respectivas retas tangentes;

( i i ) Dois segmentos de mesma cor são perpendiculares à mesma reta e, por isso, são paralelos entre si.

Passo 2

Levando-se em consideração estas observações feitas, podemos utilizar o Teorema de Tales para estabelecer as seguintes relações de semelhança:

A   A 1 - A B - = P   P 1 - P B -

A   A 3 - A C - = Q   Q 3 - Q C -

P   P 2 - P R - = Q   Q 2 - Q R -

Agora vem o bizu... prestem atenção nesse detalhe.

Ocorre que cada um dos segmentos coloridos tem o comprimento do raio de uma circunferência, certo? Vamos denotar os raios das circunferências de centro A, P e Q respectivamente por Ra, Rb e Rq, ok? Dessa forma, podemos simplificar as equações acima:

R a A B - = R p P B → A B - = R a R p P B -                     1

R a A C - = R q Q C → A C - = R a R q Q C -                     2

R p P R - = R q Q R → P R - = R p R q Q R -                     3

Passo 3

Agora vem o nosso famoso “pulo do gato”, por um motivo que ficará mais claro já já, podemos renomear as razões entre os raios nas equações acima da seguinte forma:

R a R p = α     e     R a R q = β ,

de maneira que

R p R q = R a α β R a = β α

Utilizando estas definições e notando que os segmentos em cada uma das equações (1), (2) e (3) são paralelos, estas 3 relações podem ser reescritas em forma vetorial da seguinte maneira:

A B → = α P B →

A C → = β Q C →

P R → = β α Q R →

Tarãmm, essas eram relações de semelhando da letra (a).

Passo 4

Finalmente, conforme já demostrado na letra (a), está é a condição para que os pontos B, C e R sejam colineares.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dados os vetores arbitrários uev , mostre que u . vev . u são vetores do mesmo comprimento.
Dado o paralelogramo A B C D , ponha A B → = ueA C → = v ,logo A D → = u + v e B C → = v - u . Prove que u - v 2 + u + v 2 = 2 u 2 + 2 v 2 e conclua que em todo paralelogramo a soma dos quadrados das
Seja G o baricentro (ponto de encontro das medianas) do triângulo ABC. Prove que G A → + G B → + G C → = 0 .
Fixando uma reta r , indiquemos com v ' a projeção ortogonal de um vetor arbitrário v sobre r . Prove as seguintes propriedades:b) v ' ' = v '
Sejam u = O P → ,v = O Q → vetores não nulos tais que u v + v u = O R → também seja diferente de zero. Prove que O R é a bissetriz do ˆangulo P Ô Q Ô . Obtenha, a partir daí, a inclinação dessa bisset