Enunciado

Sejam A uma matriz n   x   n tal que d e t A =   0 e T   :   R n   →   R n a multiplicação por A .

a) O que pode ser dito sobre a imagem do operador matricial T ? Dê um exemplo que ilustre sua conclusão.

b) O que pode ser dito sobre o número de vetores que T aplica em 0 ?

Passo 1

  1. Vamos lembrar que:

    i   u m a   m a t r i x   n x n   é   i r r e v e r s í v e l

    i i   T A   e s t á   c o n t i d a   n o   R n

    i i i T A   é   i r r e v e r s i v e l  

    Se det ⁡ A = 0 , A não é irreversível logo não está contida no R n , usando uma matriz de projeção em x como exemplo temos:

    A = 1 0 0 0

    É fácil observar que det ⁡ A = 0 e que A está contida somente no eixo x .

    Passo 2

Se det ⁡ A = 0 , A não é irreversível, logo não é injetora isso quer dizer que temos vetores tal que:

x ≠ y , T x = T y .

Assim.

T x - y = 0

Dessa forma temos infinitos escalares que multiplicam x , y de modo a termos infinitos vetores que levam T A = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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