Enunciado

Sejam A, B e C matrizes nxn.

b) (AB)C = C(AB)? E se AC = CA e BC = CB? Justifique.

Passo 1

Primeiro, devemos lembrar que a álgebra matricial possui a propriedade de associatividade, que afirma que (AB)C = C(AB). No entanto, também sabemos que o produto matricial de duas matrizes AB pode ou não ser igual ao produto BA, a depender se as matrizes apresentam ou não comutatividade.

Passo 2

A partir do que foi dito, inferimos que (AB)C não é igual a C(AB) se as matrizes não comutam. Como exemplo, podemos citar:

A =   1 0 0 0 ,   B =   5 1 1 5 ,   C =   9 2 4 7

A B C = 49 17 0 0

C A B = 45 9 20 4 .

Ou seja, A B C ≠ C A B .

Passo 3

Se AC = CA e BC = CB, podemos dizer que A e C comutam entre si e B e C comutam entre si.

No entanto, ainda seguimos com um problema se o resultado do produto AB e a matriz C não comutam. Dessa forma. Só é possível garantir que (AB)C = C(AB), para AC = CA e BC = CB, caso a matriz C seja a matriz identidade.

Isso ocorre pois a matriz identidade é um elemento neutro na multiplicação, ou seja, IX = X. Nesse sentido, (AB)I = AB = I(AB).

Resposta

A relação só é válida para C sendo uma matriz identidade.

Exercícios de Livros Relacionados

b) Determine todas as matrizes A, 2x2, que comutam com toda matriz B, 2x2, ou seja, tais que AB = BA, para toda matriz B, 2x2.
b) Sejam B e C matrizes mxn, tais BX = CX, para todo X, nx1. Mostre que B = C.
b) Se AB = 0, então BA = 0? Justifique.
Seja D =λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 … 0 ⋮ 0 … ⋱ 0 ⋮ λ n Uma matriz diagonal nxn, isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero. Seja A =a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ a n 1⋮… a n 2 … ⋮
Determine todas as matrizes A, 2x2, diagonais (os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero) que comutam com toda matriz B, 2x2, ou sejam tais que AB = BA, para toda matriz B, 2x2.