Enunciado

Seja

D =   λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 … 0 ⋮ 0 … ⋱ 0 ⋮ λ n

Uma matriz diagonal nxn, isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero. Seja

A =   a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ a n 1       ⋮       … a n 2 … ⋮ a n n .

  1. Mostre que o produto AD é obtido da matriz A multiplicando-se cada coluna j por λ j , ou seja, se A =   A 1 A 2 … A n , em que A j =   a 1 j ⋮ a n j é a coluna j de A, então

A D =   λ 1 A 1 λ 2 A 2 … λ n A n

Passo 1

Primeiramente, podemos usar a definição do produto matricial para realizar a multiplicação de uma matriz A, nxn, por uma matriz D, também nxn.

A D = a 11 λ 1 + 0 a 12 + … + 0 a 1 n 0 a 11 + a 12 λ 2 + … + 0 a 1 n … 0 a 11 + 0 a 12 + … + a 1 n λ n a 21 λ 1 + 0 a 22 + … + 0 a 2 n 0 a 21 + a 22 λ 2 + … + 0 a 2 n … 0 a 21 + 0 a 22 + … + a 2 n λ n ⋮ a n 1 λ 1 + 0 a n 2 + … + 0 a n n                                                 ⋮                                         … 0 a n 1 + a n 2 λ 2 + … + 0 a n n … ⋮ 0 a n 1 + 0 a n 2 + … + a n n λ n

A D = a 11 λ 1 a 12 λ 2 … a 1 n λ n a 21 λ 1 a 22 λ 2 … a 2 n λ n ⋮ a n 1 λ 1           ⋮           … a n 2 λ 2 … ⋮ a n n λ n

Passo 2

Agora, sabendo que cada coluna de A pode ser escrita da forma A j =   a 1 j ⋮ a n j , ou seja:

A 1 =   a 11 ⋮ a n 1 ,

A 2 =   a 12 ⋮ a n 2 ,

Até

A n =   a 1 n ⋮ a n n ,

Compreendemos que A pode ser escrita de modo que A =   A 1 A 2 … A n .

Passo 3

Por fim, realizando a multiplicação de cada coeficiente λ j , com j = 1, 2, 3... n, pela coluna de A com j equivalente, obtemos:

λ 1 A 1 λ 2 A 2 … λ n A n

Mas sabemos que λ 1 A 1 é equivalente ao produto da matriz A 1 pelo escalar λ 1 , ou seja:

λ 1 A 1 =   λ 1 a 11 ⋮ λ 1 a n 1 .

Dessa forma, a matriz composta pelos produtos λ j A j , j = 1, 2, 3... n, é dada por:

λ 1 a 11 λ 2 a 12 … λ n a 1 n λ 1 a 21 λ 2 a 22 … λ n a 2 n ⋮ λ 1 a n 1           ⋮           … λ 2 a n 2 … ⋮ λ n a n n ,

A qual é a mesma matriz obtida pelo produto AD.

Resposta

A D =   λ 1 A 1 λ 2 A 2 … λ n A n =   λ 1 a 11 λ 2 a 12 … λ n a 1 n λ 1 a 21 λ 2 a 22 … λ n a 2 n ⋮ λ 1 a n 1           ⋮           … λ 2 a n 2 … ⋮ λ n a n n

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