Enunciado

Suponha que o sistema de coordenadas seja ortogonal, e que P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P 5 e P 6 sejam, respectivamente, as projeções ortogonais de P = ( x ,   y ,   z ) sobre O x y , O x z , O y z , O x , O y e O z .

a) Escreva as coordenadas de P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P 5 e P 6 .

b) Se P é um dos vértices de um cubo de centro O e faces paralelas aos planos coordenados, escreva as triplas de coordenadas dos outros sete vértices.

Passo 1

No item (a) queremos achar a projeção do ponto P = ( x ,   y ,   z ) sobre os planos e eixos coordenados. No plano O x y , a projeção tem z = 0 :

P 1 = ( x ,   y ,   0 )

No plano O x z , vamos ter y = 0 :

P 2 = ( x ,   0 ,   z )

E no plano O y z , teremos x = 0 :

P 3 = ( 0 ,   y ,   z )  

Já no eixo O x , termos x y = z = 0 :

P 4 = ( x ,   0 ,   0 )

Analogamente,

P 5 = ( 0 ,   y ,   0 )

P 6 = ( 0 ,   0 ,   z )

Passo 2

No item (b), o ponto P = ( x ,   y ,   z ) junto com outros sete pontos serão vértices de um cubo com centro na origem e faces paralelas aos planos coordenados. Para achar os outros sete pontos, basta fazer todas as combinações possíveis com os sinais de x , y e z :

- x ,   y ,   z ,             x ,   - y ,   z ,             x ,   y ,   - z

- x ,   - y ,   z ,                 - x ,   y ,   - z ,                 ( x ,   - y ,   - z )

( - x ,   - y ,   - z )

Resposta

P 1 = ( x ,   y ,   0 )

P 2 = ( x ,   0 ,   z )

P 3 = ( 0 ,   y ,   z )  

P 4 = ( x ,   0 ,   0 )

P 5 = ( 0 ,   y ,   0 )

P 6 = ( 0 ,   0 ,   z )

- x ,   y ,   z ,             x ,   - y ,   z ,             x ,   y ,   - z

- x ,   - y ,   z ,                 - x ,   y ,   - z ,                 ( x ,   - y ,   - z )

( - x ,   - y ,   - z )

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Em relação a um sistema ortogonal de coordenadas, A = ( 1 ,2 ,- 1 ) , B = ( 0 ,1 ,1 ) e C = ( 2 ,0 ,0 ) . Mostre que A , B e C são vértices de um triângulo equilátero.
Seja P = ( x ,y ,z ) . Complete:a) O ponto P 1 = ( x ,y ,0 ) é a projeção de P sobre o plano coordenado .............. segundo a direção do eixo coordenado ..................... .b) O ponto P 2 = ( x
Sejam A = x 1 ,y 1 ,z 1 , B = x 2 ,y 2 ,z 2 e C = ( x 3 ,y 3 ,z 3 ) pontos quaisquer. Examine se são verdadeiras ou falsas as afirmações seguintes. Justifique sua resposta e interprete geometricamente
Mostre que os pontos A = ( 2 ,6 ,- 5 ) , B = ( 6 ,9 ,7 ) , C = ( 5 ,5 ,0 ) e D = ( 3 ,10 ,2 ) são vértices de um paralelogramo.
a) Dados A = ( 2 ,5 ,3 ) e B = ( 1 ,1 ,0 ) , calvule as coordenadas dos pontos C e D , que determinam em A B três segmentos congruentes.b) Sejam A = ( x 1 ,y 1 ,z 1 ) , B = ( x 2 ,y 2 ,z 2 ) e X o pon