Enunciado

Sejam A = 2 - 1 3 0 4 5 - 2 1 4 , B = 8 - 3 - 5 0 1 2 4 - 7 6 , C = 0 - 2 3 1 7 4 3 5 9 , a = 4 e b = - 7 , mostre que   A B T = B T A T

Passo 1

Esse problema aborda, de maneira não generalizada, a demonstração de algumas propriedades algébricas. Nesse caso, vamos mostrar que     A B T = B T A T . Para isso, vamos resolver os dois lados da equação e comparar para ver se são, de fato, iguais.

Assim, montemos o primeiro lado:

2 - 1 3 0 4 5 - 2 1 4 8 - 3 - 5 0 1 2 4 - 7 6 T

E o segundo:

8 - 3 - 5 0 1 2 4 - 7 6 T 2 - 1 3 0 4 5 - 2 1 4 T

Passo 2

Resolvendo o primeiro lado, temos:

2 - 1 3 0 4 5 - 2 1 4 8 - 3 - 5 0 1 2 4 - 7 6 T

2 × 8 + - 1 × 0 + 3 × 4 2 × - 3 + - 1 × 1 + 3 × - 7 2 × ( - 5 + - 1 × 2 + 3 × 6 0 × 8 + 4 × 0 + 5 × 4 0 × - 3 + 4 × 1 + 5 × - 7 0 × - 5 + 4 × 2 + 5 × 6 - 2 × 8 + 1 × 0 + 4 × 4 - 2 × - 3 + 1 × 1 + 4 × - 7 - 2 × ( - 5 + 1 × 2 + 4 × 6 T

16 + 0 + 12 - 6 - 1 - 21 - 10 - 2 + 18 0 + 0 + 20 0 + 4 - 35 0 + 8 + 30 - 16 + 0 + 16 6 + 1 - 28 10 + 2 + 24 T

28 - 28 6 20 - 31 38 0 - 21 36 T

28 20 0 - 28 - 31 - 21 6 - 21 36

Passo 3

Resolvendo o segundo lado da equação:

8 - 3 - 5 0 1 2 4 - 7 6 T 2 - 1 3 0 4 5 - 2 1 4 T

8 0 4 - 3 1 - 7 - 5 2 6 2 0 - 2 - 1 4 1 3 5 4

8 × 2 + 0 × - 1 + 4 × 3 8 × 0 + 0 × 4 + 4 × 5 8 × ( - 2 ) + 0 × 1 + 4 × 4 - 3 × 2 + 1 × - 1 + - 7 × 3 - 3 × 0 + 1 × 4 + - 7 × 5 - 3 × ( - 2 ) + 1 × 1 + - 7 × 4 - 5 × 2 + 2 × - 1 + 6 × 3 - 5 × 0 + 2 × 4 + 6 × 5 - 5 × ( - 2 ) + 2 × 1 + 6 × 4

16 + 0 + 12 0 + 0 + 20 - 16 + 0 + 16 - 6 - 1 - 21 0 + 4 - 35 6 + 1 - 28 - 10 - 2 + 18 0 + 8 + 30 10 + 2 + 24

28 20 0 - 28 - 31 - 21 6 - 21 36

Resposta

Ambos os lados são iguais. Logo, está demonstrado que     A B T = B T A T

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