Enunciado

Sejam A = ( 3 ,   6 ,   - 7 ) , B = ( - 5 ,   2 ,   3 ) e C = ( 4 ,   - 7 ,   - 6 ) .

a) Mostre que A ,   B e C são vértices de um triângulo.

b) Escreva equações paramétricas da reta que contém a mediana relativa ao vértice C .

Passo 1

a) Para que esses pontos sejam vértices de um triângulo, eles não devem ser colineares, ou seja, A B → não pode ser paralelo a B C → , por exemplo.

Temos:

A B → = B - A = ( - 8 ,   - 4 ,   10 )

B C → = C - B = ( 9 ,   - 9 ,   - 9 )

Podemos notar que A B → e B C → não são paralelos, pois um não é múltiplo do outro certo?

Então, os 3 pontos não são colineares e aí formam um triângulo ;)

Passo 2

b) A reta que determina essa mediana vai passar pelo ponto médio M do segmento A B e vai ter vetor diretor M C → beleza?

Primeiro, vamos encontrar M :

M = A + B 2

M = - 2 ,   8 ,   - 4 2

M = ( - 1 ,   4 ,   - 2 )

Passo 3

Agora o vetor M C → :

M C → = C - M = 4 ,   - 7 ,   - 6 - ( - 1 ,   4 ,   - 2 )

M C → = ( 5 ,   - 11 ,   - 4 )

E assim, temos a equação da reta que determina a mediana relativa ao vértice C :

r : X = - 1 ,   4 ,   - 2 + λ ( 5 ,   - 11 ,   - 4 )

Resposta

b) r : X = - 1 ,   4 ,   - 2 + λ ( 5 ,   - 11 ,   - 4 )

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