Enunciado

Escreva equações na forma simétrica da reta determinada pelo ponto ( - 1 ,   - 4 ,   - 2 ) e pelo ponto médio do segmento de extremidades ( 1 ,   3 ,   5 ) e ( 3 ,   - 3 ,   1 ) .

Passo 1

Opa, antes de qualquer coisa vamos encontrar esse tal desse ponto médio aí, ele vai ser o ponto M :

M = 1 ,   3 ,   5 + 3 ,   - 3 ,   1 2

M = 4 ,   0 ,   6 2

M = ( 2 ,   0 ,   3 )

Agora sim, queremos uma reta determinada pelo ponto A = ( - 1 ,   - 4 ,   - 2 ) e por M = ( 2 ,   0 ,   3 ) haha

O que quer dizer a reta ser determinada por esses pontos? Ele quer dizer que a reta vai passar por esses dois pontos, então, o vetor diretor dela também vai passar por eles entendeu?

Então podemos achar o vetor diretor dessa reta encontrando A M → = M - A :

A M → = 2 ,   0 ,   3 - ( - 1 ,   - 4 ,   - 2 )

A M → = ( 3 ,   4 ,   5 )

E é isso aí, já sabemos que a reta passa por A , passa por M e tem vetor diretor A M → = ( 3 ,   4 ,   5 ) , agora é só acharmos a equação dela :D

Passo 2

A equação simétrica é escrita assim:

x - x 0 a = y - y 0 b = z - z 0 c

Onde ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) é um ponto que a reta passa e ( a ,   b ,   c ) é o vetor diretor.

Escolhendo A como o ponto que a reta passa (poderíamos escolher M também viu?):

x + 1 3 = y + 4 4 = z + 2 5

Lembrando que como os sinais de A são negativos, os sinais do numerador ficam invertidos ok? Hahaha

Resposta

x + 1 3 = y + 4 4 = z + 2 5

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