Enunciado

Sejam A = 0,3 , 0 e B = 0 , - 3,0 . Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos X de E 3 tais que d X , A - d X , B = m e identifique o lugar geométrico, nos casos:

  1. m = 2
  2. m = 6
  3. m = 10
  4. m = - 2

Passo 1

Então, temos um ponto X de coordenadas X = x , y , z pertencente a E 3 . Nosso trabalho é descobrir quem são esses pontos x que satisfazem:

d X , A - d X , B = m

Vamos desenvolver uma expressão geral, sem considerar um valor específico para m . Depois, iremos analisar cada caso particularmente.

Desta forma, vamos precisar calcular as distâncias de ponto a ponto. Portanto, vamos relembrar como fazemos isto.

Seja um ponto T = a , b , c , a sua distância até o ponto X será dado por:

d X , P = x - a 2 + y - b 2 + z - c 2

Passo 2

Agora, vamos desenvolver a nossa relação. Portanto,

d X , A - d X , B = m

x 2 + y - 3 2 + z 2 - x 2 + y + 3 2 + z 2 = m

x 2 + y - 3 2 + z 2 = m + x 2 + y + 3 2 + z 2

Elevando ao quadrado ambos os membros, temos:

x 2 + y - 3 2 + z 2 = m 2 + 2 m x 2 + y + 3 2 + z 2 + x 2 + y + 3 2 + z 2

y 2 - 6 y + 9 = m 2 + 2 m x 2 + y + 3 2 + z 2 + y 2 + 6 y + 9

- 12 y - m 2 = 2 m x 2 + y + 3 2 + z 2

Elevando ao quadrado novamente, temos:

- 12 y - m 2 2 = 4 m 2 x 2 + y + 3 2 + z 2

144 y 2 + 24 y m 2 + m 4 = 4 m 2 x 2 + 4 m 2 y 2 + 6 y + 9 + 4 m 2 z 2

144 y 2 + 24 y m 2 + m 4 = 4 m 2 x 2 + 4 m 2 y 2 + 24 y m 2 + 36 m 2 + 4 m 2 z 2

4 m 2 x 2 + 4 m 2 - 144 y 2 + 4 m 2 z 2 = m 4 - 36 m 2

E assim, temos uma expressão geral da relação expressa na questão em função de m .

Passo 3

Agora, vamos resolver a letra a). Para isto, vamos fazer a substituição m = 2 . Desta forma, temos:

4 ⋅ 2 2 ⋅ x 2 + 4 ⋅ 2 2 - 144 y 2 + 4 ⋅ 2 2 ⋅ z 2 = 2 4 - 36 ⋅ 2 2

16 x 2 + 16 - 144 y 2 + 16 z 2 = - 128

16 x 2 - 128 y 2 + 16 z 2 = - 128

x 2 - 128 16 + y 2 128 128 + z 2 - 128 16 = 1

- x 2 8 + y 2 - z 2 8 = 1

A equação da superfície Ω : - x 2 8 + y 2 - z 2 8 = 1 consiste na equação de um hiperboloide de duas folhas. É importante ressaltar que devido a forma que obtivemos, a superfície Ω só existe para y ≤ 1 , pois:

x 2 + y - 3 2 + z 2 > x 2 + y + 3 2 + z 2

Visto que

x 2 + y - 3 2 + z 2 - x 2 + y + 3 2 + z 2 = 2 > 0

Passo 4

Agora, vamos resolver a letra b). Para isto, vamos fazer a substituição m = 6 . Desta forma, temos:

4 ⋅ 6 2 ⋅ x 2 + 4 ⋅ 6 2 - 144 y 2 + 4 ⋅ 6 2 ⋅ z 2 = 6 4 - 36 ⋅ 6 2

144 x 2 + 144 - 144 y 2 + 144 z 2 = 0

144 x 2 + 144 z 2 = 0

144 x 2 + z 2 = 0

Portanto, a única solução para a equação acima é x = 0 e z = 0 . Portanto, o ponto X tem coordenadas X = 0 , y , 0 . E esse y , que nada sabemos? Como vamos identificar?

Para isto, vamos ter de voltar a relação inicial e verificar ela. Logo,

x 2 + y - 3 2 + z 2 - x 2 + y + 3 2 + z 2 = m

y - 3 2 - y + 3 2 = 6

y - 3 - y + 3 = 6

Temos três possibilidades. Se y ≥ 3 , temos:

y - 3 - y - 3 = 6

- 6 = 6

Claramente, temos uma mentira. Portanto, y não pode ser maior ou igual a 3. A segunda possibilidade é - 3 < y < 3 . Sendo assim, temos:

y - 3 + y + 3 = 6

y = 3

Eita. Como que - 3 < y < 3 e a solução nos diz que, obrigatoriamente, y = 3 ? Informações contraditórias né? Então, y não pertence a este intervalo. Nosso último teste é y ≤ - 3 . Com isto, temos:

- y + 3 + y + 3 = 6

6 = 6

O que é uma verdade! Agora sim. Portanto, a solução é o conjunto dos pontos X = 0 , y , 0 tais que y ≤ - 3 . Ou também, é parte do eixo O y tal que y ≤ - 3

Passo 5

Agora, vamos resolver a letra c). Para isto, vamos fazer a substituição m = 10 . Desta forma, temos:

4 ⋅ 10 2 ⋅ x 2 + 4 ⋅ 10 2 - 144 y 2 + 4 ⋅ 10 2 ⋅ z 2 = 10 4 - 36 ⋅ 10 2

400 x 2 + 400 - 144 y 2 + 400 z 2 = 6400

400 x 2 + 256 y 2 + 400 z 2 = 6400

x 2 6400 400 + y 2 6400 256 + z 2 6400 400 = 1

x 2 16 + y 2 25 + z 2 16 = 1

Mas calma aí será esta a nossa resolução? Um elipsoide? Precisamos nos questionar se a equação obtida realmente satisfaz as questões iniciais.

Sempre se lembrem que, ao elevar equações ao quadrado, estamos generalizando. Talvez tenhamos incluído algum caso que não satisfaz o critério inicial.

Bom, vamos verificar a relação inicial. Novamente, temos:

x 2 + y - 3 2 + z 2 - x 2 + y + 3 2 + z 2 = 10

Estamos trabalhando com funções contínuas dentro do seu domínio. Vamos verificar qual solução do elipsoide nos dá o maior valor na relação acima. Se for acima de 10 e a menor solução menor que 10, pela continuidade da função, teremos algum ponto que realmente dê o valor 10, e aí estaria ok.

Então, conseguimos maximizar a função “de olho”. Vamos substituir o ponto 0 , - 5,0 , um dos vértices do elipsoide. Ele será o ponto de máximo. Portanto,

0 2 + - 5 - 3 2 + 0 2 - 0 2 + - 5 + 3 2 + 0 2 = 10

- 8 2 - 2 2 = 10

8 - 2 = 10

6 = 10

E chegamos a uma mentira! Se nem o ponto de máximo nos dá o valor 10 , significa que todo o elipsoide, na grande realidade, não satisfaz a nossa questão!

Portanto, se nem ele satisfaz, a solução real é o conjunto vazio!

Passo 6

Agora, vamos resolver a letra d). Para isto, vamos fazer a substituição m = 2 . Desta forma, temos:

4 ⋅ - 2 2 ⋅ x 2 + 4 ⋅ - 2 2 - 144 y 2 + 4 ⋅ - 2 2 ⋅ z 2 = - 2 4 - 36 ⋅ - 2 2

16 x 2 + 16 - 144 y 2 + 16 z 2 = - 128

16 x 2 - 128 y 2 + 16 z 2 = - 128

x 2 - 128 16 + y 2 128 128 + z 2 - 128 16 = 1

- x 2 8 + y 2 - z 2 8 = 1

A equação da superfície Ω : - x 2 8 + y 2 - z 2 8 = 1 consiste na equação de um hiperboloide de duas folhas. É importante ressaltar que devido a forma que obtivemos, a superfície Ω só existe para y ≥ 1 , pois:

x 2 + y - 3 2 + z 2 < x 2 + y + 3 2 + z 2

Visto que

x 2 + y - 3 2 + z 2 - x 2 + y + 3 2 + z 2 = - 2 < 0

De outra forma, a solução aqui obtida nada mais é do que a outra folha do hiperboloide obtido na letra a).

Resposta

  1. Ω : - x 2 8 + y 2 - z 2 8 = 1 , tal que y ≤ 1 , consiste na equação de um hiperboloide de duas folhas.
  2. É o conjunto dos pontos X = 0 , y , 0 tais que y ≤ - 3 .
  3. A solução é o conjunto vazio.
  4. Ω : - x 2 8 + y 2 - z 2 8 = 1 , tal que y ≥ 1 , consiste na equação de um hiperboloide de duas folhas. Em especial, é a outra folha do hiperboloide da letra a).
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