Enunciado

Identificar as quádricas representadas pelas equações

z 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 4

Passo 1

Nessa questão, devemos manipular os termos da equação a fim de identificar um modelo que determine qual tipo de quádrica ela é.

Numa análise preliminar, vemos que não existem variáveis elevadas ao expoente 1 . Logo, a quádrica dessa equação está centrada em x 0 ,   y 0 ,   z 0 = ( 0 ,   0 ,   0 ) .

Passo 2

Vamos começar analisando a equação z 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 4 .

As equações modelo de quádricas separam os termos com incógnitas de um lado da equação e os escalares do outro lado. Não precisamos fazer isso nessa pois as incógnitas já estão separadas.

Passo 3

Agora, vamos deixar essas incógnitas com um denominador. Para isso, vamos usar da relação

a x 2 = x 2 1 a

Manipulando a equação usando essa relação, temos:

z 2 1 - x 2 1 4 - y 2 1 4 = 4

Passo 4

Por último, vamos colocar o escalar como um escalar elevado ao quadrado. Assim

z 2 1 - x 2 1 4 - y 2 1 4 = 4

z 2 1 - x 2 1 4 - y 2 1 4 = 2 2  

O modelo que se parece com essa equação é a equação do hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo z

- x 2 a 2 - y 2 b 2 + z 2 c 2 = k 2

Pronto! Era isso que a questão pedia!

Resposta

A equação representa um hiperboloide de duas folhas.

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