Enunciado

As superfícies esféricas S 1 : x - 1 2 + y - 3 2 + z 2 = 1 e S 2 : x 2 + y 2 + z 2 - 2 m x + 4 m y + 4 m z = 0 são tangentes. Quanto vale m ?

Passo 1

Notemos que o centro de S 1 é 1 ,   3 ,   0 e seu raio vale 1 .

Para S 2 , temos

x 2 + y 2 + z 2 - 2 m x + 4 m y + 4 m z = 0 ⟺

x 2 - 2 m + m 2 + y 2 + 4 m + 4 m 2 + z 2 + 4 m + 4 m 2 = 9 m 2 ⟺

x - m 2 + y + 2 m 2 + z + 2 m 2 = 9 m 2

Assim, o centro de S 2 é m ,   - 2 m ,   - 2 m e seu raio vale 3 m .

Passo 2

Temos que

d C 1 ,   C 2 = m - 1 2 + 3 + 2 m 2 + 2 m 2 = 9 m 2 + 10 m + 10

Passo 3

Temos duas possibilidades: i) as esferas serem tangentes internas; ii) as esferas serem tangentes internas.

Passo 4

  1. Para serem tangentes internas:
  2. R 1 - R 2 = d C 1 ,   C 2 ⟹ 3 m - 1 = 9 m 2 + 10 m + 10 ⟺

    3 m - 1 2 = 9 m 2 + 10 m + 10 ⟺

    9 m 2 - 6 m + 1 = 9 m 2 + 10 m + 10 ⟺

    - 6 m - 10 m = 9

    Se m > 0 , temos

    - 6 m - 10 m = 9 ⟹ - 16 m = 9 ∴ m = - 9 16

    o que contraria a hipótese de m > 0 .

    Se m < 0 , temos

    6 m - 10 m = 9 ∴ m = - 9 4

    Assim, temos m = - 9 / 4 .

  3. Para serem tangentes externas:

R 1 + R 2 = d C 1 ,   C 2 ⟹ 3 m + 1 = 9 m 2 + 10 m + 10 ⟺

9 m 2 + 6 m + 1 = 9 m 2 + 10 m + 10 ⟺

6 m - 10 m = 9

Se m > 0 , temos

6 m - 10 m = 9 ∴ m = - 9 4

o que contraria a hipótese de m > 0 .

Se m < 0 , temos

- 6 m - 10 m = 9 ∴ m = - 9 16

Assim, temos m = - 9 / 16 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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