Enunciado

Sejam S 1 e S 2 superfícies esféricas não-concêntricas, C 1 e C 2 , os respectivos centros, ρ 1 e ρ 2 , os respectivos raios, tais que ρ 2 ≥ ρ 1 . Sejam δ = d C 1 ,   C 2 e π o plano radical de S 1 e S 2 . Mostre, sem utilizar a Proposição 24-24, que ρ 2 - ρ 1 < δ < ρ 2 + ρ 1 se, e somente se, d C 1 ,   π < ρ 1 (esta é uma demonstração alternativa para a Proposição 24-24(a))

Passo 1

Vamos utilizar a expressão obtida no exercício 24-57(a):

d C 1 ,   π = δ 2 - ρ 2 2 + ρ 1 2 2 δ

Passo 2

Vamos demonstrar a ida. Se ρ 2 - ρ 1 < δ < ρ 2 + ρ 1

Dessa maneira,

ρ 2 + ρ 1 > δ ⟹ ρ 2 > δ - ρ 1 ∴ ρ 2 2 > δ 2 + ρ 1 2 + 2 δ ρ 1

ρ 2 2 - δ 2 - ρ 1 2 > 2 δ ρ 1 ⟹ 2 δ < ρ 2 2 - δ 2 - ρ 1 2 ρ 1 ⟹ 1 2 δ > ρ 1 ρ 2 2 - δ 2 - ρ 1 2

Dessa forma,

d C 1 ,   π = δ 2 - ρ 2 2 + ρ 1 2 2 δ > ρ 2 2 - δ 2 - ρ 1 2 ρ 2 2 - δ 2 - ρ 1 2 ρ 1 ⟹ d C 1 ,   π > ρ 1

Passo 3

Como todas as passagens acima são invertíveis, começando de d C 1 ,   π > ρ 1 , podemos chegar até ρ 2 - ρ 1 < δ < ρ 2 + ρ 1 , o que demonstra a volta.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Obtenha uma equação geral do plano tangente a superfície esférica S em T , nos casos: ( a ) T = - 1 3 , 1 3 , - 1 3 S : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 1 = 0 ( b ) T = 0 , 95 , 0 S : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4
( a ) Mostre que uma equação geral do plano π tangente a superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 em T = ( h , k , l ) é h x + k y + l z = ρ 2 ( b ) Generalize o resultado do item ( a ) para a su
Obtenha uma equação da superfície cônica de vértice V = ( 0,0 , 0 ) , circunscrita a superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 - 3 x - y + 2 = 0
Uma corda P Q da superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 2 y - 8 z + 10 = 0 está contida na reta interseção dos planos π 1 : x = 2 z - 1 e π 2 : y = 1 - z . Obtenha equações dos planos tangent
Prove que, se uma superfície esférica de centro C = ( m , n , p ) e raio ρ é tangente aos três planos coordenados, então m = n = p = ρ