Enunciado

Determinar uma matriz ortogonal A t = A - 1 cuja primeira linha seja 1 5 , 2 5 .

Passo 1

Antes de começarmos a questão, é importante deixar claro que temos um problema com o enunciado da questão. Provavelmente, devido a um erro de digitação, vamos chegar a algo impossível de ser feito.

Ao decorrer da questão, este erro será identificado e iremos corrigir com o “provável” valor que deveria ter sido digitado.

Sem mais enrolação, vamos ao que interessa! Vamos a um jogo de quebra cabeça!

Sim, um quebra cabeça. É exatamente isto o que a questão está nos pedindo para fazer. Vamos utilizar cada informação dada no enunciado para nos ajudar na resolução do quebra cabeça.

Por exemplo, a questão diz que temos uma matriz ortogonal. Consequentemente, sabemos que ela é uma matriz quadrada. Depois, ela nos diz que os elementos da primeira linha são: 1 5 , 2 5 .

Então, como temos uma matriz quadrada e a primeira linha tem dois elementos, temos:

A = a 11 a 12 a 21 a 22 = 1 5 2 5 a 21 a 22

Agora sim, já foi mais da metade do nosso quebra cabeça. Já sabemos qual a dimensão da nossa matriz e também já sabemos metade dos nossos elementos! Estamos caminhando muito bem nesse quebra cabeças!

Passo 2

Agora é a hora de nós nos jogarmos! Vamos partir para o tudo ou nada (para o tudo pois vamos resolver a questão sim!).

Para isto, vamos precisar lembrar de uma relação de matrizes com sua inversa. Lembram que, para uma matriz X qualquer, vale a seguinte identidade:

X X - 1 = I

Lembram desta relação? Pois é, vamos usar ela. Se a gente substitui a nossa matriz A , temos:

A A - 1 = I

Só que, como a matriz A é ortogonal, temos A t = A - 1 . Consequentemente:

A A t = I

E esta será a relação que utilizaremos para descobrir os elementos a 21 e a 22 da matriz A .

Passo 3

Pronto, agora só nos resta substituir a matriz A na relação A A t = I e efetuar os cálculos. Sendo assim, temos:

A A t = I

1 5 2 5 a 21 a 22 1 5 a 21 2 5 a 22 = 1 0 0 1

5 25 a 21 + 2 a 22 5 a 21 + 2 a 22 5 a 21 2 + a 22 2 = 1 0 0 1

Lembram do que foi dito no enunciado da questão, que temos um erro no enunciado da questão? A coordenada a 11 foi igual a 5/25, e não igual a 1. Portanto, não temos uma matriz ortogonal cuja primeira linha é 1 5 , 2 5 .

De fato, isto era impossível. De uma matriz ortogonal, podemos extrair das suas linhas e colunas um par de vetores cuja base é ortonormal.

Isto implicaria em 1 5 , 2 5 possuir norma unitária. Entretanto, verificamos que:

| | 1 5 , 2 5 | | = 5 25 = 1 5

O que está longe de ser unitário. Para que a norma do vetor fosse unitária, uma possibilidade seria que o denominador fosse 5 ao invés de 5. Para a resolução da questão, vamos assumir que esta fosse a intenção correta na hora da digitação da questão.

Passo 4

Com esta correção, a nossa matriz A será A = 1 5 2 5 a 21 a 22 . Continuando os cálculos com esta matriz, temos:

A A t = I

1 5 2 5 a 21 a 22 1 5 a 21 2 5 a 22 = 1 0 0 1

1 a 21 + 2 a 22 5 a 21 + 2 a 22 5 a 21 2 + a 22 2 = 1 0 0 1

Com isto, obtemos o seguinte sistema:

a 21 + 2 a 22 5 = 0 a 21 2 + a 22 2 = 1 ⟹ a 21 = - 2 a 22 a 21 2 + a 22 2 = 1

Cuja solução é a 21 = ∓ 2 5 e a 22 = ± 1 5 .

Portanto, temos duas possibilidades de matrizes ortogonais A , elas são:

A 1 = 1 5 2 5 - 2 5 1 5

A 2 = 1 5 2 5 2 5 - 1 5

De fato, agora as linhas/colunas formam conjuntos de vetores ortogonais entre si e de norma unitária.

Resposta

De acordo com os dados do enunciado da questão, é impossível obter uma matriz A ortogonal que possua a primeira linha 1 5 , 2 5 . Assumindo que a primeira linha devesse ser 1 5 , 2 5 , o que seria apenas um erro de digitação e possibilita a resolução da questão, as matrizes ortogonais A que satisfazem este critério são:

A 1 = 1 5 2 5 - 2 5 1 5

A 2 = 1 5 2 5 2 5 - 1 5

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