Enunciado

Sejam A = 2,1 , 3 , B = 0,0 , 1 , C = - 1 , - 2 , - 3 , D = 1,0 , 2 e P o ponto que divide C , A na razão 2. Obtenha uma equação geral do plano π que contém P e é paralelo a C D e cuja interseção com o tetraedro A B C D é um paralelogramo.

Passo 1

Então, precisamos obter a equação geral de um plano π que contém P e é paralelo a aresta C D . O problema é que esta informação não é suficiente para compormos o nosso plano.

Precisamos de algo mais. E este algo mais que é a grande dificuldade. E a resposta para isto está no fato do plano π interceptar o tetraedro A B C D e obter um paralelogramo.

Uma condição necessária para que o plano π satisfaça é que ele seja paralelo a arestas opostas. Então, se ele é paralelo a aresta C D , ele deve ser paralelo a aresta A B (basta você ver quais “letras” não foram utilizadas).

Portanto, o nosso plano é paralelo as arestas C D e A B . Ou também, podemos dizer que ele tem vetores diretores A B → e C D → .

Agora que temos dois vetores diretores e um ponto, já podemos compor o plano!

Passo 2

Agora que já sabemos o que fazer, vamos as contas. Então, vamos calcular os vetores A B → e C D → , e o ponto P . Começando pelos vetores,

A B → = B - A = 0,0 , 1 - 2,1 , 3 = - 2 , - 1 , - 2

C D → = D - C = 1,0 , 2 - - 1 , - 2 , - 3 = 2,2 , 5

Agora, vamos calcular o ponto P . Ele é o ponto que divide o segmento C A numa razão de 2:1. Então, significa dizer que:

C P C A = 2 2 + 1 = 2 3

Portanto, o segmento C P equivale a dois terços do segmento C A . Então, o ponto P será:

C P → = 2 3 C A →

P - C = 2 3 C A →

P = C + 2 3 C A →

P = - 1 , - 2 , - 3 + 2 3 3,3 , 6 = 1,0 , 1

Agora, calculando o vetor normal do plano, temos:

n → = A B → ∧ C D → = i j k - 2 - 1 - 2 2 2 5 = - 1,6 , - 2

Portanto, o plano π tem o seguinte formato: π : - x + 6 y - 2 z + d = 0 . Para descobrirmos o valor de d , vamos substituir as coordenadas do ponto P . Assim, obtemos:

- 1 - 2 + d = 0

d = 3

Portanto, o plano que buscamos é:

π : - x + 6 y - 2 z + 3 = 0

Passo 3

O problema é que o plano que a condição anterior não é suficiente para a interseção ser um paralelogramo. Também é preciso que a interseção do plano π com as 4 arestas resulte em um ponto interior a ele.

Então, vamos começar determinando as 4 equações da reta, uma para cada aresta que ela intercepta, as quais são: A D , B C , B D e A C (todas as arestas que não são paralelas).

Para a aresta B D , temos:

r : X = B + λ B D → = λ , 0,1 + λ

Para a aresta B C , temos:

h : X = B + λ B C → = - λ , - 2 λ , 1 - 4 λ

Para a aresta A C , temos:

s : X = A + λ A C → = 2 - 3 λ , 1 - 3 λ , 3 - 6 λ

Para a aresta A D , temos:

t : X = A + λ A D → = 2 - λ , 1 - λ , 3 - λ

Passo 4

Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto X de cada uma das retas na equação do plano π e verificar o valor de λ .

Se o valor de λ estiver na faixa 0 < λ < 1 , significa que o ponto de interseção é interior sim e assim provamos que o plano π intercepta o tetraedro e forma um paralelogramo.

Começando pela aresta B D , em que X = λ , 0,1 + λ , então:

- λ - 2 1 + λ + 3 = 0

λ = 1 3

Para a aresta B C , em que X = - λ , - 2 λ , 1 - 4 λ , temos:

λ + 6 - 2 λ - 2 1 - 4 λ + 3 = 0

λ = 1 3

Para a aresta A C , em que X = 2 - 3 λ , 1 - 3 λ , 3 - 6 λ , temos:

- 2 + 3 λ + 6 1 - 3 λ - 2 3 - 6 λ + 3 = 0

λ = 1 3

Para a aresta A D , em que X = 2 - λ , 1 - λ , 3 - λ , temos:

- 2 + λ + 6 1 - λ - 2 3 - λ + 3 = 0

λ = 1 3

Como todos os valores de λ obtidos respeitam a condição de que 0 < λ < 1 , podemos confirmar sim que a interseção do plano π com o tetraedro é um paralelogramo

Resposta

π : - x + 6 y - 2 z + 3 = 0

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