Enunciado

Considere as retas r : X = 1 ,   1 ,   0 + λ   ( 0 ,   1 ,   1 ) e s :   ( x - 1 ) / 2 = y = z . Sejam A o ponto de interseção de s com o plano π , e B e C , respectivamente, os pontos que r intercepta O x z e O x y . Calcule a área do triângulo A B C , nos casos:

a) π : x - y + z = 2

b) π : x - y - z = 2

c) π : x - 4 y + 2 z = 1

Passo 1

Note que os pontos B e C não dependem dos itens do problema. Assim, vamos achar eles primeiro...

A reta r pode ser escrita como

x ,   y ,   z = 1 ,   1 + λ ,   λ ⇒ x = 1 y = 1 + λ z = λ

O ponto B é a interseção da reta r com o plano O x z ( y = 0 ). Fazendo y = 0 , obtemos λ = - 1 . Assim, z = - 1 :

B = ( 1 ,   0 ,   - 1 )

Para achar C , fazemos z = 0 , pois se trata da interseção com o plano O x y . Assim, λ = 0 ⇒ y = 1 . Logo,

C = ( 1 ,   1 ,   0 )

Agora em cada caso do problema, temos que achar A para depois procurar a área do triângulo A B C !

Passo 2

No item (a), o ponto A é dado pelo sistema

x - 1 2 = y = z x - y + z = 2

Como y = z , a última equação vira

x = 2

Substituindo na primeira:

y = z = 1 2

Logo,

A = 2 , 1 2 , 1 2

Para calcular a área do triângulo, fazemos primeiro

A C → = C - A = - 1 , 1 2 ,   - 1 2

A B → = B - A = - 1 ,   - 1 2 ,   - 3 2

Calculando o produto vetorial:

A C → ∧ A B → = i → j → k → - 1 1 2 - 1 2 - 1 - 1 2 - 3 2 = - 1 ,   - 1 ,   1

Assim,

A C → ∧ A B → = 3

A área do triângulo é

A Δ = 1 2   A C → ∧ A B →

Assim,

A Δ = 3 2

Passo 3

No item (b), temos que resolver

x - 1 2 = y = z x - y - z = 2

Como y = z , temos que a segunda equação vira

x - 2 y = 2 ⇒ x = 2 + 2 y

Assim,

x - 1 2 = 2 + 2 y - 1 2 = y ⇒ 1 + 2 y = 2 y ⇒ 0 y = 1

Nesse caso, não existe um ponto de encontro entre a reta s e o plano π , já que o sistema não tem solução. Geometricamente isso acontece pois s é paralela a π .

Passo 4

Por fim, no item (c), temos que resolver

x - 1 2 = y = z x - 4 y + 2 z = 1

Como y = z , temos que

x - 1 = 2 y x - 2 y = 1

Note que as duas equações são iguais: o sistema é indeterminado! Isso significa que a reta s está contida no plano π e existem infinitos pontos de interseção. Neste caso também não é possível calcular a área do triângulo...

Resposta

A Δ = 3 2

Apenas no item (a) existe o triângulo!

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