Enunciado

Sejam A e B pontos distintos, pertencentes a superfície esférica S de centro C   e raio ρ . Mostre que todos os pontos interiores ao segmento A B são interiores a S , e todos os pontos da reta A B , exteriores ao segmento A B , são exteriores a S .

Passo 1

Considerando um centro na origem da esfera nós teremos:

Considerando que a reta A B é paralela ao eixo z , logo essa reta atravessa a esfera nas mesmas coordenadas em x e y porém em coordenadas em z com valores inversos. Então pelo desenho fica tranquilo de ver que qualquer ponto dentro do segmento A B está dentro da esfera e qualquer ponto fora desse segmento estará fora da esfera também.

Uma forma de provar matematicamente o que estamos dizendo é que para uma esfera de equação x 2 + y 2 + z 2 = 1 tem raio de 1 tanto para A tanto para B (que pertencem sei lá a uma reta x = y = 0.5 ) , portanto qualquer ponto entre esses dois pontos terá um raio menor que 1 (em relação ao seu centro), e qualquer ponto fora desse segmento terá um raio maior que 1 para o seu centro. Logo:

m 2 + n 2 + p 2 = 1

E como essa reta está paralela ao eixo z , então se pegarmos um valor entre o segmento que terá um z < p , logo:

m 2 + n 2 + z 2 < 1

E para um z > p

m 2 + n 2 + z 2 > ρ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determinar a equação de cada uma das superfícies esféricas definidas pelas seguintes condições:d) Centro C ( - 2 , 3 ,4 ) e tangente ao eixo dos z.
Determinar a equação de cada uma das superfícies esféricas definidas pelas seguintes condições:c) Centro C ( 4 , - 1 , - 2 ) e tangente ao plano x O y .
Determinar a equação de cada uma das superfícies esféricas definidas pelas seguintes condições:e) Centro C ( 0 , - 4 ,3 ) e tangente ao plano de equação: x + 2 y - 2 z - 2 = 0
Determinar uma equação das superfícies esféricas nas condições dadas.Centro C ( 4 , - 1 , - 2 ) e que passa pelo ponto P ( 2,3 , - 1 ) .
Obter uma equação geral do plano tangente à superfície esférica E no pontoP E : x 2 + y 2 + z 2 = 9 ; P ( 2,1 , - 2 )