Enunciado

Estude a posição relativa das retas r e s

d) r : (x + 3)/(2) = (y - 1)/(4) = z s : {[[2 x - y + 7 = 0],[x + y - 6 z = - 2]])

Passo 1

Primeiro vamos encontrar a reta s :

s : {[[2 x - y + 7 = 0],[x + y - 6 z = - 2]])

Somando as duas equações:

3 x - 6 z + 7 = - 2

3 x - 6 z = - 9

x - 2 z = - 3

x = 2 z - 3

Substituindo na segunda equação:

2 z - 3 + y - 6 z = - 2

- 4 z + y = 1

y = 4 z + 1

Então a reta s é:

(x , y , z) = ( 2 z - 3 , 4 z + 1 , z )

(x , y , z) = (- 3 , 1 , 0) + lambda ( 2 , 4 , 1 )

Passo 2

O vetor diretor de r é ( 2 , 4 , 1 ) , que é também o vetor diretor de s .

Logo, as retas são paralelas, agora, basta descobrirmos se elas são distintas ou coincidentes.

Para isso, vamos ver se o ponto ( - 3 , 1 , 0 ) de s pertence à reta r :

(- 3 , 1 , 0) = (- 3 , 1 , 0) + lambda (2 , 4 , 1)

(- 3 , 1 , 0) = ( - 3 + 2 lambda , 1 + 4 lambda , lambda )

Igualando as coordenadas:

{[[- 3 + 2 lambda = - 3],[1 + 4 lambda = 1],[lambda = 0]])

Da terceira equação, temos lambda = 0 , que procede para as outras duas equações.

Como encontramos valores iguais para lambda , o sistema possui solução e então o ponto ( - 3 , 1 , 0 ) pertence à reta r .

Logo, as retas são paralelas coincidentes fechou? Ou seja, são a mesma reta.

Resposta

d) Paralelas coincidentes.

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